Zadanie wykaż, że:

[Januszgolenia]

Wykaż, że jeśli x+y=2, to \(x^3+y^3 \ge 2\)

[Wojtek55501000]

Na początek wyliczmy x z równania x+y=2.
x + y = 2 /-y
x = 2 - y
Teraz podstawiamy x do drugiego równania.
\({(2-y)}^3\) + \(y^3\) \(\ge\) 2
Następnie korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: \({(a-b)}^3\) = \(a^3\) - 3\(a^2\)b + 3a\(b^2\) - \(b^3\) liczymy nawias oraz przenosimy wszystko na lewą stronę równania.
8 - 12y + \({6y}^2\) - \(y^3\) + \(y^3\) - 2 \(\ge\) 0
Skracamy \(y^3\) z -\(y^3\) oraz wykonujemy działanie 8-2.
W rezultacie otrzymujemy \({6y}^2\) - 12y + 6 \(\ge\) 0.
Teraz całość dzielimy przez 6.
\({6y}^2\) - 12y + 6 \(\ge\) 0 /:6
\({y}^2\) - 2y + 1 \(\ge\) 0
Lewą stronę równania zapisujemy za pomocą wzoru skróconego mnożenia: \(a^2\) - 2ab + \(b^2\) = \({(a-b)}^2\).
\({(y-1)}^2\) \(\ge\) 0
Definicja mówiąca, że cokolwiek podniesione do kwadratu jest większe, bądź równe zeru kończy dowód.

[radagast]

To samo nieco krócej:
\(x^3+y^3= \left( x+y\right) ^3- \left( 3x^2y+3xy^2\right)=\left( x+y\right) ^3-3xy \left(x+y\right)=8-6xy=8-6x \left( 2-x\right)=\\
2+6 \left( 1-2x+x^2 \right)=2+6 \left( 1-x\right) ^2 \ge 2+6 \cdot 0=2\)