Równania i nierówności

[kitinap]

Rozwiąż równania i nierówności:
a) \(2x^3 - 8x^2 - 3x + 12 = 0\)
b) \(\frac{x}{x-4} - \frac{32}{x^2-16} = 0\)
c) \(2\sin x = -1\)
d) \(-2(x+2)^6(x-5)^3(x+6) \leq 0\)
e) \(\frac{9x^2 -13x}{x+4} > -1\)

[eresh]

Rozwiąż równania i nierówności:
a) 2x^3- 8x^2 - 3x + 12 = 0

\(2x^3-8x^2-3x+12=0\\
2x^3-3x-8x^2+12=0\\
x(2x^2-3)-4(2x^2-3)=0\\
(2x^2-3)(x-4)=0\\
x_1=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\\
x_2=-\frac{\sqrt{6}}{2}\\
x_3=4\)

[eresh]

Rozwiąż równania i nierówności:

b) \(\frac{x}{x-4} - \frac{32}{x^2-16} = 0\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{4,-4\}\\
\frac{x(x+4)-32}{x^2-16}=0\\
x^2+4x-32=0\\
x=4\notin D\\
x=-8\)

[eresh]

Rozwiąż równania i nierówności:

c) \(2\sin x = -1\)

\(2\sin x=-1\\
\sin x=-\frac{1}{2}\\
x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\
x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{C}\)

[eresh]

Rozwiąż równania i nierówności:

d) \(-2(x+2)^6(x-5)^3(x+6) \leq 0\)

\(x_1=-2\\
x_2=5\\
x_3=-6\\
x\in (-\infty, -6]\cup [5,\infty)\cup \{-2\}\)

[eresh]

Rozwiąż równania i nierówności:

e) \(\frac{9x^2 -13x}{x+4} > -1\)

\(D=\mathbb{C}\setminus\{-4\}\)

\((9x^2-13x)(x+4)>-(x+4)^2\\
(9x^2-13x)(x+4)+(x+4)^2>0\\
(x+4)(9x^2-13x+x+4)>0\\
(x+4)(9x^2-12x+4)>0\\
9(x+4)(x-\frac{2}{3})^2>0\\
x\in (-4,\infty)\setminus\{\frac{2}{3}\}\)