Rozwiąż rónanie różniczkowe.

[Crus]

\(ylny+xy'=0\)
\(xy'=-ylny\)
\(x \frac{dy}{dx} =-ylny/ \cdot dx\)
\(xdy=-ylnydx/:x\)
\(dy=- \frac{ylny}{x}dx/:ylny\)
\(\frac{dy}{ylny} =- \frac{dx}{x}\)
\(\int \frac{1}{ylny}dy =- \int \frac{1}{x}dx\)

\(\int \frac{1}{ylny}dy =...\)
\(t=lny\)
\(dt= \frac{1}{y}dy\)
\(\int \frac{1}{ylny}dy = \int tdt = \frac{1}{2}t^2+c = \frac{1}{2}ln^2y+c\)

\(- \int \frac{1}{x}dx =-lnx+c\)

\(\frac{1}{2}ln^2y= -lnx+c/ \cdot 2\)
\(ln^2y=-2lnx+c / \cdot e\)
Nie jestem pewien co dalej... pomnozyć \(/ \cdot e^{-2}\) ?

[radagast]

\(\int \frac{1}{ylny}dy =...\)
\(t=lny\)
\(dt= \frac{1}{y}dy\)
\(\int \frac{1}{ylny}dy = \int tdt = \frac{1}{2}t^2+c = \frac{1}{2}ln^2y+c\)

Nie prościej tak:
\(\displaystyle \int \frac{1}{y\ln y}dy =\int \frac{ \frac{1}{y} }{ \ln y}dy=*=\ln|\ln y|+C\)
\(^*\) bo licznik jest pochodną mianownika

No i wynik jest dobry, a u Ciebie nie bardzo... No i dalej też do poprawy.
Powinno wyjść
\(y=e^{ \frac{C}{x} }\)

[Crus]

Czy mogłabyś wyjaśnić skąd wziął się wynik\(e= \frac{c}{x}\)?
\(lnlny = - lnx+c /:ln\)
\(lny = - x+c / \cdot e\)
\(y = -e^{ x+c}\)

[Galen]

\(ln(lny)=lnx^{-1}\\lny=x^{-1}\\lny=\frac{1}{x}\\y=e^{\frac{1}{x}}\)

[Crus]

Dziękuję..