Optymalizacja - pomocy

[barteklublin]

Należy poprowadzić kabel od stacji zasilania położonej na brzegu rzeki do fabryki położonej na przeciwległym jej brzegu, rzeka ma 900m szerokości. Brzegi rzeki między stacją zasilania mają kształt dwóch równoległych odcinków o długości 3km. Koszt przeprowadzenia 1 metra kabla na lądzie jest równy 8zł, a pod wodą 10zł. Jaki jest najbardziej ekonomiczny sposób poprowadzenia kabla? Zadanie optymalizacyjne, należy wykorzystać pochodne funkcji.

[korki_fizyka]

Zastosuj zasadę Fermata.

[radagast]

ScreenHunter_1768.jpg (5.71 KiB) Przejrzano 1830 razy

\(f(a,b)=10a+8b\) musi być najmniejsza.
Tymczasem
\(a= \sqrt{0,9^2+(3-x)^2}\)
\(b=3-x\)
czyli \(f(x)=10 \sqrt{0,9^2+(3-x)^2}+8(3-x)\)
dalej już łatwo. Dasz radę ?

[barteklublin]

Dziękuję bardzo

[barteklublin]

Obliczyłem pochodną, jednak mam problem z przyrównaniem jej do zera. Czy mógłbym prosić o pomoc?
http://imgur.com/a/F1rXq

[radagast]

\(f(x)=10 \sqrt{0,9^2+(3-x)^2}+8(3-x)\)
\(f'(x)= 10 \cdot \frac{-2(3-x)}{2\sqrt{0,9^2+(3-x)^2}} -8=10 \cdot \frac{x-3}{\sqrt{0,9^2+(3-x)^2}} -8\)
\(f'(x)=0 \iff 10 \cdot \frac{x-3}{\sqrt{0,9^2+(3-x)^2}} -8=0 \iff 5 \cdot \frac{x-3}{\sqrt{0,9^2+(3-x)^2}} =4 \So \\
\frac{x-3}{\sqrt{0,9^2+(3-x)^2}} = \frac{4}{5} \So \frac{ \left(x-3 \right) ^2}{0,9^2+(3-x)^2} = \frac{16}{25} \So 25 \left(x-3 \right) ^2=16 \left( 0,9^2+(3-x)^2\right)\)
poradź sobie dalej sam (nie zapomnij na koniec sprawdzić wynik -nie wszystkie przekształcenia były równoważne)