Pierwiastki wielomianu

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1608
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1680 razy
Otrzymane podziękowania: 3 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Januszgolenia »

Ile pierwiastków ma wielomian \(w(x)=x^3-x^2-2x+1\) w przedziale (-2,2)?
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

\(f(-2)=-7<0\\f(0)=1>0\)
Między x=-2 i x=0 musi być co najmniej jedno miejsce zerowe.
\(f(0)>0\\f(1)=-1<0\)
Między x=0 i x=1 musi być co najmniej jedno miejsce zerowe.
\(f(1)<0\\f(2)=1>0\)
Między x=1 i x=2 musi być co najmniej jedno miejsce zerowe.
Wielomian jest stopnia trzeciego,więc może mieć co najwyżej trzy miejsca zerowe.
Stąd wniosek,że w przedziale (-2;2) wielomian ma trzy pierwiastki.

Drugi sposób podejścia do zadania,to zbadanie przebiegu funkcji...
\(W(x)=x^3-x^2-2x+1\\W'(x)=3x^2-2x-2\\W'(x)=0\;\;\;\;gdy\;\;\;3x^2-2x-2=0\)
Otrzymasz \(W_{MAX}\;\;\;\;i\;\;\;\;W_{min}\)
Jeszcze granice:
\(\Lim_{x\to -\infty}W(x)= \Lim_{x\to - \infty }x^3(1- \frac{1}{x}- \frac{2}{x^2}+ \frac{1}{x^3})=- \infty \\ \Lim_{x\to + \infty }W(x)=+ \infty\)
Zestawiając kształt krzywej z ekstremami i granicami wielomianu wywnioskujesz istnienie trzech miejsc zerowych w (-2;2).
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
ODPOWIEDZ