rachunek róźniczkowy

[Artegor]

1.Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa ma
długość 5 i każde z ramion też ma długość 5. Oblicz długość dłuższej podstawy tego z
rozpatrywanych trapezów, który ma największe pole. Oblicz to pole.

[domino21]

niech dłuższa podstawa ma długość 5+2x, wtedy wysokość trapezu policzymy z tw. Pitagorasa:
\(h^2+x^2=5^2 \ \So \ h=\sqrt{25-x^2} \ \ \wedge \ x\in (0;5)\)

\(P(x)=\frac{1}{2} (a+b)h =\frac{1}{2}(5+5+2x)\sqrt{25-x^2} =(5+x)\sqrt{25-x^2} \\
P'(x)=\sqrt{25-x^2} +(5+x)\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}=\frac{-2x^2-5x+25}{\sqrt{25-x^2}} \\
P'(x)=0 \ \So \ -2x^2-5x+25=0 \ \So \ \ x=-5 \notin D \ \vee \ x=\frac{5}{2}\)

Długość dłuższej podstawy: \(5+2\cdot \frac{5}{2} =10\)
pole: \(P(\frac{5}{2} )=(5+\frac{5}{2})\sqrt{25-(\frac{5}{2})^2} =\frac{15}{2}\sqrt{\frac{75}{4}}=\frac{75\sqrt{3}}{4}\)

[Artegor]

Jest możliwość pod pierwiastek wrzucić (5+x), i obejść się bez iloczynu?

[lambda]

Można, ale wtedy otrzymasz coś takiego:

\(\sqrt{(5+x)^2(25-x^2)}\)
To raczej nie jest lepsza opcja.

[Artegor]

A jeśli to teraz wymnożyłbym i następnie obliczył pochodną funkcji? Miałbym zwykłą funkcję wielomianową, tylko co z tym pierwiastkiem :/ W rozwiązaniu z podręcznika zastosowali właśnie tą metodę z pierwiastkiem tylko nie jest ona wytłumaczona.

[lambda]

Po wymnożeniu będzie wielomian, ale dalej pod pierwiastkiem.

Pochodną z funkcji z pierwiastkiem liczy się tak:

\(( \sqrt{x}) ' = \frac{1}{2 \sqrt{x} } \\ lub \quad ( \sqrt{f(x)})' = \frac{1}{2 \sqrt{f(x)} } \cdot f'(x)\)
w przypadku funkcji złożonej

[Artegor]

Hmm zrobiłem zadanie traktując je jakby tego pierwiastka nie było, wynik wyszedł mi taki sam.

[lambda]

W tym przypadku wynik wychodzi taki sam, bo po przyrównaniu pochodnej do zera zostaje sam wielomian. Natomiast licząc pochodną nie można sobie opuszczać pierwiastka.

[majki03]

Możesz opuścić pierwiastek i liczyć pochodną pod warunkiem, że napiszesz, że rozpatrujesz pomocniczą funkcję, np.g(x) i dodatkowo napiszesz, że ta funkcja jest rosnąca/malejąca w wyznaczonej dziedzinie oraz osiąga te same ekstrema w tych samych punktach, co funkcja podstawowa:))))
Pozdro