Potęga o wykładniku wymiernym cz 2

[lisekk23]

Zadanie 1
Która z liczb jest większa: x czy y?
a) \(x = 3 * 1024^{-0,1}, y = 2^{- \frac{1}{3} }*4^{ \frac{2}{3} }: \sqrt{2}\)
b) \(x = ( \frac{ \sqrt{3} }{2} )^{-4}, y = \sqrt{2} * \sqrt[3]{2} * \sqrt[6]{2}\)
c) \(x = ( \frac{2}{5} )^{-3}: \sqrt[6]{ \frac{125}{8} } , y = \sqrt[3]{36^{3}}\)
d) \(x = ( \frac{2^{6}}{6^{3}} )^{- \frac{2}{3} }, y = ( \sqrt[3]{1,6} )^{6}\)

Zadanie 2
Podaj konieczne założenia, a następnie uprość wyrażenie, stosując prawa działań na potęgach
a) \(x ^{\frac{1}{2}} *x^{ \frac{1}{3}}\)
b) \(x^{ \frac{2}{3}} \sqrt[3]{x} )^{5}\)
c) \(\sqrt[3]{x^{2}}*x^{-1}* \sqrt{x}\)
d) \((x^{ \frac{3}{4} })^{-2}:(x^{ \frac{2}{3} })^{-3}\)
e) \(\sqrt[3]{ab^{-2}}:(a^{-2}b)^ \frac{1}{3}\)
f) \((ab^{- \frac{2}{3} })^{- \frac{3}{4} }* \sqrt[4]{ab^{2}}\)

[eresh]

Zadanie 1
Która z liczb jest większa: x czy y?
a) \(x = 3 * 1024^{-0,1}, y = 2^{- \frac{1}{3} }*4^{ \frac{2}{3} }: \sqrt{2}\)

\(x=3\cdot 1024^{-0,1}=3\cdot (2^{10})^{-0,1}=3\cdot 2^{-1}=\frac{3}{2}\\
y=2^{-\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{4}{3}}:2^{\frac{1}{2}}=2^1:2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\\
x>y\)

[eresh]

Zadanie 1
Która z liczb jest większa: x czy y?
b) \(x = ( \frac{ \sqrt{3} }{2} )^{-4}, y = \sqrt{2} * \sqrt[3]{2} * \sqrt[6]{2}\)

\(x=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{-4}=\frac{2^4}{\sqrt{3}^4}=\frac{16}{9}\\
y=\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2^1=2\\
x<y\)

[eresh]

Zadanie 1
Która z liczb jest większa: x czy y?
c) \(x = ( \frac{2}{5} )^{-3}: \sqrt[6]{ \frac{125}{8} } , y = \sqrt[3]{36^{3}}\)

\(x=(\frac{2}{5})^{-3}:\sqrt[6]{\frac{125}{8}}=(\frac{5}{2})^{3}:((\frac{5}{2})^3)^{\frac{1}{6}}=(\frac{5}{2})^3:(\frac{5}{2})^{\frac{1}{2}}=(\frac{5}{2})^{2,5}\\
y=\sqrt[3]{36^3}=36\\
y>x\)

[eresh]

Zadanie 1
Która z liczb jest większa: x czy y?
d) \(x = ( \frac{2^{6}}{6^{3}} )^{- \frac{2}{3} }, y = ( \sqrt[3]{1,6} )^{6}\)

\(x=(\frac{2^6}{6^3})^{-\frac{2}{3}}=\frac{2^{-4}}{6^{-2}}=\frac{36}{16}=\frac{9}{4}=2,25\\
y=(\sqrt[3]{1,6})^6=((1,6)^{frac{1}{3}})^6=(1,6)^2=2,56\\
y>x\)

[eresh]

Zadanie 2
Podaj konieczne założenia, a następnie uprość wyrażenie, stosując prawa działań na potęgach
a) \(x ^{\frac{1}{2}} *x^{ \frac{1}{3}}\)

\(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=x^{\frac{5}{6}}\\
x\geq 0\)

[eresh]

Zadanie 2
Podaj konieczne założenia, a następnie uprość wyrażenie, stosując prawa działań na potęgach
b) \(x^{ \frac{2}{3}} \sqrt[3]{x} )^{5}\)

\(x^{ \frac{2}{3}} : ( \sqrt[3]{x} )^{5}=x^{\frac{2}{3}}:x^{\frac{5}{3}}=x^{\frac{2}{3}-\frac{5}{3}}=x^{-1}=\frac{1}{x}\\
x\neq 0\)

[eresh]

Zadanie 2
Podaj konieczne założenia, a następnie uprość wyrażenie, stosując prawa działań na potęgach
c) \(\sqrt[3]{x^{2}}*x^{-1}* \sqrt{x}\)

\(\sqrt[3]{x^2}\cdot x^{-1}\cdot\sqrt{x}=x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{2}{3}-1+\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{x}\\
x>0\)

[eresh]

Zadanie 2
Podaj konieczne założenia, a następnie uprość wyrażenie, stosując prawa działań na potęgach
d) \((x^{ \frac{3}{4} })^{-2}:(x^{ \frac{2}{3} })^{-3}\)

\((x^{\frac{3}{4}})^{-2}: (x^{\frac{2}{3}})^{-3}=x^{-\frac{3}{2}}:x^{-2}=x^{-\frac{3}{2}+2}=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\\
x>0\)

[eresh]

Zadanie 2
Podaj konieczne założenia, a następnie uprość wyrażenie, stosując prawa działań na potęgach
e) \(\sqrt[3]{ab^{-2}}:(a^{-2}b)^ \frac{1}{3}\)

\(\sqrt[3]{ab^{-2}}: (a^{-2}b)^{\frac{1}{3}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}}:\frac{b^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}=\frac{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}}\cdot\frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}=\frac{a}{b}\\
a\neq 0\\
b\neq 0\)

[eresh]

Zadanie 2
Podaj konieczne założenia, a następnie uprość wyrażenie, stosując prawa działań na potęgach

f) \((ab^{- \frac{2}{3} })^{- \frac{3}{4} }* \sqrt[4]{ab^{2}}\)

\(\left(ab^{\frac{-2}{3}}\right)^{-\frac{3}{4}}\cdot\sqrt[4]{ab^2}=a^{-\frac{3}{4}}\cdot b^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{4}}\cdot b^{\frac{1}{2}}=a^{-\frac{1}{2}}\cdot b=\frac{b}{\sqrt{a}}\\
a>0\\
b>0\)

[q2464108]

@eresh
Czy można prosić jeszcze raz o sprawdzenie przykładu f.) ?
W książce jest napisane, że wynik powinien wynosić

a \frac{-1}{2}b

[q2464108]

Coś źle się napisało. W twoim wyniku jest -1/4 a ma być -1/2 według odpowiedzi w książce.

[eresh]

Coś źle się napisało. W twoim wyniku jest -1/4 a ma być -1/2 według odpowiedzi w książce.

już poprawione

[q2464108]

Dalej jest -1/4 w wyniku