Twierdzenie cosinusów i sinusów

[mela1015]

W trójkącie ostrokątnym ABC tangens kata przy wierzchołku C jest równy : \(\frac{2 \sqrt{5} }{5}\) , a bok przeciwległy temu kątowi ma długość 12.
a). Oblicz promień koła opisanego na trójkącie (R)
b). W trójkącie ABC poprowadzono wysokości AE i BF, które przecięły się w punkcie M.Wykaz, ze promień okręgu opisanego na trojkącie ABC jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie ABM.

[eresh]

W trójkącie ostrokątnym ABC tangens kata przy wierzchołku C jest równy : \(\frac{2 \sqrt{5} }{5}\) , a bok przeciwległy temu kątowi ma długość 12.
a). Oblicz promień koła opisanego na trójkącie (R)

\(\tg\gamma =\frac{2\sqrt{5}}{5}\\
\frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\\
2\sqrt{5}\cos\gamma =5\sin\gamma\\
\cos\gamma =\frac{5\sin\gamma}{2\sqrt{5}}\)

\(\sin^2\gamma+\cos^2\gamma =1\\
\sin^2\gamma +\frac{25\sin^2\gamma}{20}=1\\
45\sin^2\gamma=20\\
\sin\gamma =\frac{2}{3}\)

\(2R=\frac{12}{\frac{2}{3}}\\
2R=18\\
R=9\)

[eresh]

W trójkącie ostrokątnym ABC tangens kata przy wierzchołku C jest równy : \(\frac{2 \sqrt{5} }{5}\) , a bok przeciwległy temu kątowi ma długość 12.

b). W trójkącie ABC poprowadzono wysokości AE i BF, które przecięły się w punkcie M.Wykaz, ze promień okręgu opisanego na trojkącie ABC jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie ABM.

\(|\angle M|=360^{\circ}-\gamma - 90^{\circ}-90^{\circ}=180^{\circ}-\gamma\\
2r=\frac{12}{\sin (180^{\circ}-\gamma)}\\
2r=\frac{12}{\sin\gamma}\\
2r=\frac{12}{\frac{2}{3}}\\
r=9\\
r=R\)

[Sair]

mógłby mi ktoś wytłumaczyć skąd wzięło się:

2r=\(\frac{12}{sin(180∘−γ)}\) ?

Znam tw sinusów ale ono mowi o boku i sinusie kąta naprzeciwko

Ps. Przepraszam za odświeżanie

[Galen]

Wzór redukcyjny
\(sin\alpha=sin(180^o-\alpha)\)

[Sair]

Tak, tak, to wiem.
I już rozumiem skąd wzięło się to równanie Po prostu nie zauważyłem kątów wierzchołkowych

[Matreox14]

Wiem, że to stary post, jednak rozwiązanie do podpunktu b) jest inne i chyba nawet prostsze (napisane jest złe).
Na podstawie rysunku z http://pracadomowa.pl/ksiazka/matematyk ... zony/92688 widać, że to równe 90∘ nie jest. Jednak moje, lepsze rozwiązanie to (z danymi z podpunktu a):

sin α = 2/3 ==> α = 45∘
|∠CAB| + |∠MBA| = 90∘ i |∠CBA| + |∠MBA| = 90∘ (wysokość prostopadła do podstawy)
|∠CAB| + |∠CBA| = 180∘ - α - 2* 45∘ = 135∘
Więc łącząc dwie poprzednie linjki: |∠CAB| + |∠MBA| + |∠CBA| + |∠MBA| = 180∘ = 135∘ + |∠MBA|+ |∠MBA|
|∠MBA|+ |∠MBA| = 45∘ ==> |∠AMB| = 135∘

Końcowo liczymy, ze sin 135∘ = sin (180∘ - 45∘) = sin 45∘
c.n.d

[evelin71]

a od kiedy sin \alpha = \frac{2}{3} , to kąt \alpha =45?