Trygonometria/ Ciągi/ F. homograficzna

[cFFaniak]

Zad 1
Równość \(cos \frac{ \alpha }{2} -cos \frac{3 \alpha }{2} =2 \sin \alpha \sin \gamma\) jest tożsamością trygnonometryczną dla :
a) \(\gamma = \frac{-3 \alpha }{2}\)
b) \(\gamma = \frac{- \alpha }{2}\)
c) \(\gamma = \frac{ \alpha }{2}\)
d) \(\gamma = \frac{3 \alpha }{2}\)

Zad 2
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \(a_n= \frac{ \sqrt{3} }{( \sqrt{3}+2)^n }\) . Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Zakoduj trzy pierwsze cyfry wyniku.

Zad 3
Funkcja f(x)= \(\frac{4- \frac{3x}{5} }{ \frac{1}{2}-3x }\) ma asymptote poziomą y=q i asymptotę pionową x=p. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby p+q

[panb]

Rozwiązanie zadania 1 polega na znalezieniu wzoru i przeprowadzeniu prostego porównania.

Zadanie 2
\(q= \frac{\sqrt3}{ \left(\sqrt3+2 \right)^{n+1} } \cdot \frac{ \left( \sqrt3+2\right)^n }{\sqrt3}= \frac{1}{\sqrt3+2}<1\)
\(1-q= \frac{\sqrt3+2-1}{\sqrt3+2} \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3+2}\)
Wobec tego suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona liczbą równą:
\(S= \frac{a_1}{1-q}= \frac{\sqrt3}{\sqrt3+2} \cdot \frac{\sqrt3+2}{\sqrt3+1}= \frac{\sqrt3}{\sqrt3+1}= \frac{3-\sqrt3}{2}\approx 0,63397\)
KOD: 633

[panb]

Zadanie 3
Asymptota pionowa ma równanie \(\frac{1}{2}-3x=0 \iff x= \frac{1}{6}\)
\(4- \frac{3x}{5}= \frac{20-3x}{5}\) oraz \(\frac{1}{2}-3x= \frac{1-6x}{2}\).
Zatem \(f(x)= \frac{20-3x}{5} \cdot \frac{2}{1-6x}= \frac{40-6x}{5-30x}= \frac{ \frac{1}{5}(5-30x)+39 }{5-30x}= \frac{1}{5} + \frac{39}{5-30x}\) i asymptota pozioma ma równanie \(y= \frac{1}{5}\).
Czyli \(p= \frac{1}{6} ,\quad q= \frac{1}{5}, \,\,\,a \,\, p+q= \frac{11}{30} \approx 0,36666\)
KOD: 366

[Galen]

Zad.1
Wzór:
\(cosx-cosy=-2 sin{ \frac{x+y}{2} } \cdot sin{ \frac{x-y}{2} }\)
\(cos{ \frac{\alpha}{2} }-cos{ \frac{3\alpha}{2} }=-2sin{ \frac{2\alpha}{2} } \cdot sin(- \frac{\alpha}{2})=\\=-2sin\alpha \cdot (-sin { \frac{\alpha}{2} })=2sin\alpha \cdot sin{ \frac{\alpha}{2} }\)
\(\gamma = \frac{\alpha}{2}\)

[Famat]

Można prosić jeszcze raz o wytłumaczenie zadania 3 bo nie rozumiem. Góry dzięki