Zad 1
Wyznacz wartości parametrów m i n wielomianu W(x)= \(x^3 -mx^2 -5x +n\) wiedząc że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez trójmian \((x+1)^2\) jest równa 2x+10. Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x).
Zad 2
Dany jest wielomian \(W(x)= (x-2)[x^2+(2p+1)x-3p^2\)
a) Udowodnij że dla każdej wartości parametru p wielomian W(x) ma co najmniej 2 pierwiastki
b) Wyznacz tę wartość parametru p dla której wielomian W(x) ma pierwiastek dwukrotny
Zad 3
Dla jakich a równanie ma dokładnie trzy pierwiastki?
\((a+2x-x^2)(a+|x-1|-1) = 0\)
Wielomiany
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
2./b
\(Q(x)=x^2+(2p+1)x-3p^2\)
\(\Delta =(2p+1)^2+12p^2\)
\(\forall p \in R :\) \(\\)\(\Delta >0\)
\(\Delta =0 \iff p \in \emptyset\) , stąd wielomian \(Q(x)\) NIE ma pierwiastka podwójnego
Stąd : wielomian \(W(x)\) ma pierwiastek podwójny ( tylko x=2 )\(\iff\) \(Q(2)=0\)
\(Q(2)=4+(2p+1)*2-3p^2=0\)\(\iff p=\frac{ \sqrt{21 }-2 }{3} \vee p= \frac{ \sqrt{21 }+2 }{3}\)
\(Q(x)=x^2+(2p+1)x-3p^2\)
\(\Delta =(2p+1)^2+12p^2\)
\(\forall p \in R :\) \(\\)\(\Delta >0\)
\(\Delta =0 \iff p \in \emptyset\) , stąd wielomian \(Q(x)\) NIE ma pierwiastka podwójnego
Stąd : wielomian \(W(x)\) ma pierwiastek podwójny ( tylko x=2 )\(\iff\) \(Q(2)=0\)
\(Q(2)=4+(2p+1)*2-3p^2=0\)\(\iff p=\frac{ \sqrt{21 }-2 }{3} \vee p= \frac{ \sqrt{21 }+2 }{3}\)
1.
\(W(x)=(x+1)^2(x+a)+2x+10=(x^2+2x+1)(x+a)+2x+10=\\=x^3+ax^2+2x^2+2ax+x+a+2x+10=\\=x^3+(a+2)x^2+(2a+3)x+a+10\)
\(\begin{cases}a+2=-m\\2a+3=-5\\a+10=n\end{cases}\)
\(2a=-8\\a=-4\\-m=-4+2\\m=2\\-4+10=n\\n=6\)
\(W(x)=x^3-2x^2-5x+6\)
\(W(x)=x^3-x^2-x^2+x-6x+6=x^2(x-1)-x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x^2-x-6)\\x_1=1\\\Delta=1+24=25\\x_2=\frac{1-5}{2}=-2\ \vee\ x_3=\frac{1+5}{2}=3\)
\(W(x)=(x+1)^2(x+a)+2x+10=(x^2+2x+1)(x+a)+2x+10=\\=x^3+ax^2+2x^2+2ax+x+a+2x+10=\\=x^3+(a+2)x^2+(2a+3)x+a+10\)
\(\begin{cases}a+2=-m\\2a+3=-5\\a+10=n\end{cases}\)
\(2a=-8\\a=-4\\-m=-4+2\\m=2\\-4+10=n\\n=6\)
\(W(x)=x^3-2x^2-5x+6\)
\(W(x)=x^3-x^2-x^2+x-6x+6=x^2(x-1)-x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x^2-x-6)\\x_1=1\\\Delta=1+24=25\\x_2=\frac{1-5}{2}=-2\ \vee\ x_3=\frac{1+5}{2}=3\)
3.
\((a+2x-x^2)(a+|x-1|-1)=0\\(x^2-2x-a)(|x-1|+a-1)=0\\x^2-2x-a=0\ \vee\ |x-1|=1-a\)
Równanie wyjściowe ma dokładnie 3 różne pierwiastki, jeśli:
- równanie kwadratowe ma 2 różne pierwiastki i równanie z wartością bezwzględną ma 1 pierwiastek różny od pierwiastków równania kwadratowego
lub
- równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek i równanie z wartością bezwzględną ma 2 różne pierwiastki, różne od pierwiastka równania kwadratowego.
1)
Równanie
\(|x-1|=1-a\)
ma jeden pierwiastek dla a=1. Ten pierwiastek to
\(|x-1|=0\\x=1\)
Wtedy równanie kwadratowe;
\(x^2-2x-1=0\\\Delta=4+4=8>0\)
ma 2 pierwiastki, oba różne od 1
2)
Jeśli w równaniu kwadratowym wyróżnik jest dodatni:
\(\Delta=4+4a=0\\a=-1\\x^2-2x+1=(x-1)^2\\x_0=1\)
Wtedy dla a=-1
\(|x-1|=2\\x-1=2\ \vee\ x-1=-2\\x=3\ \vee\ x=-1\)
Oba są różne od 1.
Równanie wyjściowe ma 3 różne pierwiastki, jeśli a=1 lub a=-1
\((a+2x-x^2)(a+|x-1|-1)=0\\(x^2-2x-a)(|x-1|+a-1)=0\\x^2-2x-a=0\ \vee\ |x-1|=1-a\)
Równanie wyjściowe ma dokładnie 3 różne pierwiastki, jeśli:
- równanie kwadratowe ma 2 różne pierwiastki i równanie z wartością bezwzględną ma 1 pierwiastek różny od pierwiastków równania kwadratowego
lub
- równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek i równanie z wartością bezwzględną ma 2 różne pierwiastki, różne od pierwiastka równania kwadratowego.
1)
Równanie
\(|x-1|=1-a\)
ma jeden pierwiastek dla a=1. Ten pierwiastek to
\(|x-1|=0\\x=1\)
Wtedy równanie kwadratowe;
\(x^2-2x-1=0\\\Delta=4+4=8>0\)
ma 2 pierwiastki, oba różne od 1
2)
Jeśli w równaniu kwadratowym wyróżnik jest dodatni:
\(\Delta=4+4a=0\\a=-1\\x^2-2x+1=(x-1)^2\\x_0=1\)
Wtedy dla a=-1
\(|x-1|=2\\x-1=2\ \vee\ x-1=-2\\x=3\ \vee\ x=-1\)
Oba są różne od 1.
Równanie wyjściowe ma 3 różne pierwiastki, jeśli a=1 lub a=-1
