Wielomian i ciąg arytmetyczny

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1191
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1256 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Wielomian i ciąg arytmetyczny

Post autor: Januszgolenia » 02 sie 2013, 10:18

Trzy różne pierwiastki wielomianu \(W(x)=x^3+ax^2+bx-192\) tworzą ciąg arytmetyczny.
a) Oblicz wartości iloczynu pierwiastków wielomianu W(x).
b) Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x), wiedząc, że ich suma jest równa 18.
c) Uzasadnij,że dla każdej liczby parzystej wielomian W(x) przyjmuje wartości podzielne przez 16 i przez 24.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 02 sie 2013, 11:04

a)
oznaczmy te pierwiastki: \(x_0,x_0+r,x_0+2r\)
podany wielomian w postaci iloczynowej to: \(\left(x-x_0 \right)\left(x-(x_0+r) \right)\left(x-(x_0+2r) \right)\)
jego wyraz wolny to\(-x_0 \cdot \left( -\left(x_0+r \right)\right) \cdot \left( -\left(x_0+2r \right)\right)=-x_0 \cdot \left(x_0+r \right)\cdot\left(x_0+2r \right)=-192\)
stąd iloczyn pierwiastków \(x_0 \cdot \left(x_0+r \right)\cdot\left(x_0+2r \right)=192\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 02 sie 2013, 11:10

b)
przy oznaczeniach takich jak w a) mamy:
\(x_0+x_0+r+x_0+2r=3x_0+3r=18 \Rightarrow x_0+r=6\)
\(\left(6-r \right) \cdot 6 \cdot \left(6-r \right)=192 \Rightarrow \left(6-r \right) \cdot \left(6-r \right) =32 \Rightarrow 36-r^2=32 \Rightarrow r^2=4\)

No to te pierwiastki to 4,6,8.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 02 sie 2013, 11:22

c)
wiemy juz o tym wielomianie , że to jest \((x-4)(x-6)(x-8)\)
no to jeśli x=2k
\((2k-4)(2k-6)(2k-8)=8(k-2)(k-3)(k-4)\)
liczby \((k-2)(k-3)(k-4)\) to kolejne liczby całkowite. Jedna z nich musi dzielić się przez 3 i jedna musi dzielić się przez 2
zatem iloczyn \(8(k-2)(k-3)(k-4)\) można zapisać jako \(8 \cdot 3 \cdot m\) oraz jako \(8 \cdot 2 \cdot n\)
cbdo.

x6s
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 19 kwie 2016, 19:27

Re:

Post autor: x6s » 19 kwie 2016, 19:32

radagast pisze: Podstawiając nie powinno być tutaj plusa?
\(\left(6-r \right) \cdot 6 \cdot \left(6+r \right)=192\)

Januszgolenia
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1191
Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
Podziękowania: 1256 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

Re: Wielomian i ciąg arytmetyczny

Post autor: Januszgolenia » 22 maja 2016, 11:48

Tak powinien być plus ale to przeoczenie bo liczenie jest tak jakby było plus.

pozdrawiam
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 12 kwie 2019, 20:45

Post autor: pozdrawiam » 13 kwie 2019, 10:29

Hej, nie wiem jak wywnioskować z treści zadania, że pierwiastki wielomianu należą do liczb całkowitych. Twierdzenie które zostaje użyte w podp. a) dotyczy liczb całkowitych w wielomianie (myślę o "a,b") oraz pierwiastków w(x)... Przynajmniej tak jest w moich tablicach jeżeli się mylę to przepraszam za błąd i proszę o wytłumaczenie.