Z miejscowości A i B wyjechały jednoczesnie...

[kasiunia8450]

Zad.1
Z miejscowości A i B wyjechały jednoczesnie, naprzeciw siebie, po sąsiednich torach dwa pociągi ekspresowe, które nie zatrzymują się po drodze. Kazdy pociąg jechał ze stałą prędkością. Predkość pociagu jadacego z miasta B do A była o 20 km/h wieksza niż predkość pociągu jadącego w przeciwną stronę. Czoła pociągów minęły się w punkcie dzielącym trasę z A do B w stosunku 4:5. Oblicz z jaką prędkością jechał kazdy z tych pociągów.

Zad.2
W prostokatnym układzie wspólrzędnych narysowano dwa okręgi o równaniach: \(o_1:(x-3)^2+(x+2)^2=5\) oraz \(x^2+y^2+2x-12y+32=0\). Okrąg o_1 jest symetryczny do okręgu \(o_2\) wzgledem prostej k. Wyznacz równanie prostej k.

Zad.3
Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny ABCD, w którym \(|AD|=|BC|=6 cm, |AB|>|DC|\) oraz \(| \angle BAD|=60 \circ\) . Przekatna AC trapezu zawiera się w dwusiecznej kąta BAC. Oblicz objetość graniastosłupa, jezeli wiadomo, że wysokość bryły i przekątna AC traperu mają taka samą długość.

[irena]

1.
\(\frac{vt}{(v+20)t}=\frac{4}{5}\\\frac{v}{v+20}=\frac{4}{5}\\5v=4(v+20)\\5v=4v+80\\v=80\frac{km}{h}\\v+20=100\frac{km}{h}\)

[irena]

2.
\((x-3)^2+(y+2)^2=5\\S=(3;\ -2)\)

\(x^2+y^2+2x-12y+32=0\\(x+1)^2-1+(y-6)^2-36+32=0\\(x+1)^2+(y-6)^2=5\\P=(-1;\ 6)\)

S i P to środki okręgów.
Okręgi są symetryczne względem symetralnej odcinka SP

Prosta SP:
\(\frac{y+2}{x-3}=\frac{6+2}{-1-3}\\\frac{y+2}{x-3}=-2\\y+2=-2x+6\\2x+y-4=0\)

Środek odcinka SP:
\(T=(\frac{3-1}{2};\ \frac{-2+6}{2})=(1;\ 2)\)

Symetralna SP (oś symetrii):
\(x-2y+k=0\\1-2\cdot2+k=0\\k=3\\x-2y+3=0\)

[irena]

3.
Jeśli przekątna trapezu jest dwusieczną kąta BAD, to trójkąt ACD jest równoramienny, czyli krótsza podstawa, |CD|=6cm.

h=|CE| - wysokość trapezu
\(\frac{h}{6}=sin60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\\h=3\sqrt{2}\\|EB|=x\\\frac{x}{6}=cos60^0=\frac{1}{2}\\x=3cm\\|AB|=6+2\cdot3=12cm\)

\(|AC|^2=|AE|^2+|CE|^2\\|AC|^2=(3\sqrt{2})^2+(12-3)^2\\|AC|^2=27+81=108\\|AC|=6\sqrt{3}cm\)

H- wysokość graniastosłupa
\(H=6\sqrt{3}cm\)

\(P_p=\frac{6+12}{2}\cdot3\sqrt{3}=27\sqrt{3}cm^2\\V=27\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3}=486cm^3\)

[kasiunia8450]

Do Irena...
Zad.2
Skąd sie wzieło to:
Prosta SP:
\(\frac{y+2}{x-3}=\frac{6+2}{-1-3}\)

I to:
Symetralna SP (oś symetrii):
\(x-2y+k=0\)

Z góry dziekuje za wytłumaczenie

[irena]

Równanie prostej przechodzącej przez punkty (a, b) i (c, d):
\(\frac{y-b}{x-a}=\frac{d-b}{c-a}\)

Prosta prostopadła do prostej o równaniu
\(Ax+By+C=0\)
to prosta o równaniu typu:
\(Bx-Ay+k=0\)

Liczbę k wyznacza się, wstawiając za x i za y współrzędne punktu, przez który ta prosta ma przejść.