Rownanie, zbior dwuelementowy

[Dexous]

Zrobilem takie zadania tylko ze innym sposobem niz proponuja. Wynik niby dobry wyszedl. Moglby ktos sprawdzic czy taki sposob jest poprawny?

Tresc zadania :
Zbior rozwiazan rownania \(x^3+bx^2+bx+1=0\) jest dwuelementowy. Znajdz ten wzor

Ja rozwiazuje to tak :
Zauwazylem ze -1 jest pierwiastkiem rownania wiec zrobilem taki rozklad
\((x+1)(x^2+bx+1)\)
Jak maja byc 2 rozwiazania razem to rownanie kwadratowe musi miec \(\Delta =0\)
Taki przypadek jest gdy \(b = -2\) lub \(b = 2\)
Wiec mam 2 rownania \((x+1)(x^2+2x+1)\) lub \((x+1)(x^2-2x+1)\) i tylko w przypadku drugiego rozwiazania sa rozne
wiec zbior mi wyszedl \(ZW = { -1, 1 }\)

[Galen]

\(x^3+1+bx^2+bx=0\\
(x^3+1)+bx(x+1)=0\\
(x+1)(x^2-x+1)+bx(x+1)=0\\
(x+1)(x^2-x+1+bx)=0\\
(x+1)(x^2+(b-1)x+1)=0\\
x+1=0\;\;\;\;lub\;\;\;\;x^2+(b-1)x+1=0\\
x_1=-1\;\;\;\)
Drugie równanie musi mieć jeden pierwiastek różny od (-1), albo dwa pierwiastki,z których jeden wynosi (-1)
\(\Delta=(b-1)^2-4=b^2-2b-3=0\\
\Delta_b=4+12=16\;\;\;\;\;\sqrt{\Delta_b}=4\\
b_1=-1\;\;\;\;\;\;\;b_2=3\)
Sprawdzasz,czy dla b=-1 są dwa różne pierwiastki,a także sprawdzasz dla b=3.
\(b=-1\\
x^3-x^2-x+1=0\\
x^2(x-1)-1(x-1)=0\\
(x-1)(x^2-1)=0\\
(x-1)(x-1)(x+1)=0\\
x_1=x_2=1\;\;\;\;\;x_3=-1\)
Są dwa różne pierwiastki,w tym jeden dwukrotny.
\(b=3\\
x^3+3x^2+3x+1=0\\
(x+1)^3=0\\
x_1=x_2=x_3=-1\)
Jest tu jeden pierwiastek trzykrotny.
Odp.
Wzór równania:
\(x^3-x^2-x+1=0\;\;\;\;\;dla\;\;\;\;b=-1\)

[Galen]

Masz błędny rozkład na czynniki.
Jak wymnożysz te nawiasy,to zobaczysz,że nie otrzymasz postaci wyjściowej wielomianu.

[Dexous]

Dzieki Wielkie za rozwiazanie. Tylko mam pytanie czy nie powinno sie jeszcze sprawdzic przypadku kiedy delta jest wieksza od 0 ? Bo w Twoim rozwiazaniu porownojesz delte do 0.

[mzkaoq]

dokładnie odpowie ktoś czy nie trzeba sprawdzić delty > 0

[Galen]

dokładnie odpowie ktoś czy nie trzeba sprawdzić delty > 0

Możesz badać delta >0,ale wtedy szukasz dwóch pierwiastków równania...Tymczasem masz już jeden pierwiastek,to szukasz tylko jednego i to różnego od x=-1.
Wystarczy sprawdzenie,kiedy (-1) spełnia równanie kwadratowe...