Objętość kuli i stożka.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Objętość kuli i stożka.
Stożek o wysokości długości h wpisano w kulę.Oblicz objętość kuli wiedząc że jest ona 4 razy większa od objętości stożka.Rozważ 2 przypadki.
r- promień podstawy stożka
R- promień kuli
Na przekroju osiowym mamy trójkąt równoramienny o podstawie długości 2r i wysokości h, wpisany w okrąg o promieniu R.
Nazwałam ten trójkąt ABC, gdzie AB to podstawa. O- środek okręgu opisanego na trójkącie.
Wysokość h= |CD|, D- środek podstawy AB.
\(V_k=\frac{4}{3}\pi\ R^3\)
\(V_s=\frac{1}{3}\pi\ r^2h\)
\(V_k=4V_s\\\frac{4}{3}\pi\ R^3=4\cdot\frac{1}{3}\pi\ r^2h\\R^3=r^2h\)
I przypadek:
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Wtedy O=D i R=r. W takim wypadku r=h oraz \(R^3=h^2\cdot\ h=h^3\) i objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\pi\ h^3\)
II przypadek:
Trójkąt ABC jest rozwartokątny. w takim wypadku punkt O leży poza trójkątem ABC, na przedłużeniu wysokości CD.
Mamy wtedy:
\(R=|CO|=|OB|\\|CD|=h\\|DO|=R-h\\|BD|=r\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BDO:
\(R^2=(R-h)^2+r^2\\R^2=R^2-2hR+h^2+r^2\\r^2=2hR-h^2\)
\(R^3=r^2h\\R^3=(2hR-h^2)\cdot\ h\\R^3=2h^2R-h^3\\R^3-2h^2R+h^3=0\)
Zauważmy, że dla R=h wielomian ten się zeruje, czyli:
\((R^3-2h^2R+h^3=0\\(R-h)(R^2+hR-h^2)=0\\R\neq\ h\\R^2+hR-h^2=0\\\Delta=h^2+4h^2=5h^2\\\sqrt{\Delta}=h\sqrt{5}\\R_1=\frac{-h-h\sqrt{5}}{2}<0\ \vee\ R_2=\frac{-h+h\sqrt{5}}{2}\\R=\frac{\sqrt{5}-1}{2}h\)
Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{\sqrt{5}-1}{2}h)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{5\sqrt{5}-3\cdot5+3\sqrt{5}-1}{8}\cdot\ h^3=\frac{8\sqrt{5}-16}{6}\pi\ h^3=\frac{4(\sqrt{5}-2)}{3}\pi\ h^3\)
Można sprawdzić, że niemożliwe jest, aby w takim wypadku trójkąt ABC był trójkątem ostrokątnym (równanie otrzymuje się identyczne i wynik R jest większy od h).
R- promień kuli
Na przekroju osiowym mamy trójkąt równoramienny o podstawie długości 2r i wysokości h, wpisany w okrąg o promieniu R.
Nazwałam ten trójkąt ABC, gdzie AB to podstawa. O- środek okręgu opisanego na trójkącie.
Wysokość h= |CD|, D- środek podstawy AB.
\(V_k=\frac{4}{3}\pi\ R^3\)
\(V_s=\frac{1}{3}\pi\ r^2h\)
\(V_k=4V_s\\\frac{4}{3}\pi\ R^3=4\cdot\frac{1}{3}\pi\ r^2h\\R^3=r^2h\)
I przypadek:
Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Wtedy O=D i R=r. W takim wypadku r=h oraz \(R^3=h^2\cdot\ h=h^3\) i objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\pi\ h^3\)
II przypadek:
Trójkąt ABC jest rozwartokątny. w takim wypadku punkt O leży poza trójkątem ABC, na przedłużeniu wysokości CD.
Mamy wtedy:
\(R=|CO|=|OB|\\|CD|=h\\|DO|=R-h\\|BD|=r\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BDO:
\(R^2=(R-h)^2+r^2\\R^2=R^2-2hR+h^2+r^2\\r^2=2hR-h^2\)
\(R^3=r^2h\\R^3=(2hR-h^2)\cdot\ h\\R^3=2h^2R-h^3\\R^3-2h^2R+h^3=0\)
Zauważmy, że dla R=h wielomian ten się zeruje, czyli:
\((R^3-2h^2R+h^3=0\\(R-h)(R^2+hR-h^2)=0\\R\neq\ h\\R^2+hR-h^2=0\\\Delta=h^2+4h^2=5h^2\\\sqrt{\Delta}=h\sqrt{5}\\R_1=\frac{-h-h\sqrt{5}}{2}<0\ \vee\ R_2=\frac{-h+h\sqrt{5}}{2}\\R=\frac{\sqrt{5}-1}{2}h\)
Objętość kuli:
\(V_k=\frac{4}{3}\pi\cdot(\frac{\sqrt{5}-1}{2}h)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{5\sqrt{5}-3\cdot5+3\sqrt{5}-1}{8}\cdot\ h^3=\frac{8\sqrt{5}-16}{6}\pi\ h^3=\frac{4(\sqrt{5}-2)}{3}\pi\ h^3\)
Można sprawdzić, że niemożliwe jest, aby w takim wypadku trójkąt ABC był trójkątem ostrokątnym (równanie otrzymuje się identyczne i wynik R jest większy od h).
-
poetaopole
- Stały bywalec
- Posty: 365
- Rejestracja: 15 kwie 2009, 07:26
- Podziękowania: 199 razy
- Płeć:
Re:
Można sprawdzić, że niemożliwe jest, aby w takim wypadku trójkąt ABC był trójkątem ostrokątnym (równanie otrzymuje się identyczne i wynik R jest większy od h).[/quote]
Właśnie nie, dla przypadku gdzie przekrojem jest trojkat ostrokatny jest rozwiązanie - dziedzina wtedy jest (0,H) i R=( \sqrt{5} -1)*0,5H czyli ok 0,62H \in (0,H). A własnie przpadek gdzie przekrojem jest trojkat rozwartokatny dziedzina jest (H,+ \infty ) czyli R =okolo 0,62H \notin (H,+ \infty )
Właśnie nie, dla przypadku gdzie przekrojem jest trojkat ostrokatny jest rozwiązanie - dziedzina wtedy jest (0,H) i R=( \sqrt{5} -1)*0,5H czyli ok 0,62H \in (0,H). A własnie przpadek gdzie przekrojem jest trojkat rozwartokatny dziedzina jest (H,+ \infty ) czyli R =okolo 0,62H \notin (H,+ \infty )