Dowód algebraiczny

[Pasjonat]

Bardzo proszę o pomoc
Równanie \(x^2+2ax-b^2+4=0\) z niewiadomą x nie ma rozwiązań. Wykaż, że \(|a|<2\) i \(|b|<2\).

[Jerry]

Skoro nie ma rozwiązań, to
\[\Delta<0\iff 4a^2+4b^2-16<0\]
Nierówność opisuje wnętrze koła o środku \((0,0)\) i promieniu \(2\). Zatem współrzędne jego punktów spełniają żądane nierówności.

Pozdrawiam

[janusz55]

Mamy wykazać implikację

Jeśli równanie \( x^2 -2ax +b^2 +4 = 0 \) z niewiadomą \( x\in \rr \) nie ma rozwiązań to \( |a|< 2 \) i \( |b|<2 \)

Przekształcamy równoważnie poprzednik tej implikacji.

\( [x^2 +2ax +b^2 + 4 = x^2 -2ax +a^2-a^2 -b^2 +4 = 0 ]\leftrightarrow [(x^2 - a)^2 - (a^2+b^2 -4) < 0] \leftrightarrow [(x^2 -a)^2 = a^2+b^2 - 4] \)

Aby równanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie miało rozwiązań, kwadrat liczby musi być liczbą ujemną.

Stąd

\( a^2 +b^2 -4 < 0 \)

czyli

\( a^2 + b^2 < 4, \ \ |a|^2 + |b|^2< 4, \ \ |a|< 2 \) i \( |b|< 2. \)

\( \Box \)

[matthewhancock]

Mamy wykazać implikację

Jeśli równanie \( x^2 -2ax +b^2 +4 = 0 \) z niewiadomą \( x\in \rr \) nie ma rozwiązań to \( |a|< 2 \) i \( |b|<2 \)

Przekształcamy równoważnie poprzednik tej implikacji.

\( [x^2 +2ax +b^2 + 4 = x^2 -2ax +a^2-a^2 -b^2 +4 = 0 ]\leftrightarrow [(x^2 - a)^2 - (a^2+b^2 -4) < 0] \leftrightarrow [(x^2 -a)^2 = a^2+b^2 - 4] \)

Aby równanie w zbiorze liczb rzeczywistych nie miało rozwiązań, kwadrat liczby musi być liczbą ujemną.

Stąd

\( a^2 +b^2 -4 < 0 \)

czyli

\( a^2 + b^2 < 4, \ \ |a|^2 + |b|^2< 4, \ \ |a|< 2 \) i \( |b|< 2. \)

\( \Box \)

too complicated for me ) my perfect hotel

[janusz55]

What is complicated here?