Stosując podstawienie \( 3^{x} = t, \ \ t>0, \) zastępujemy dane równanie wykładnicze równaniem kwadratowym z niewiadomą \( t \)
\( (m-2)t^2 + (m+1)t - m = 0, \ \ (1) \)
którego kolejnymi współczynnikami są: \( a = m-2, \ \ b = m+1, \ \ c = m. \)
Dane równanie wykładnicze ma dokładnie jeden pierwiastek mniejszy od \( 2 \) wtedy i tylko wtedy, gdy równanie \( (1) \) ma dokładnie jeden pierwiastek będącą liczbą dodatnią większą od \( 2.\)
Musi więc być spełniona alternatywa warunków:
\(\left( a=0 \ \ i \ \ b\neq 0 \ \ i \ \ \frac{-c}{b}>2 \right) \ \ lub \ \ \left( a\neq 0 \ \ i \ \ \Delta = 0 \ \ i \ 0 <\frac{-b}{2a}<2\right) \ \ (2)\)
Rozpatrzmy \(y=f(\color{red}{t})=(m-2)t^2+(m+1)t-m\), gdzie \(t=3^x>0\), określoną na \(D=\rr_+\). Aby warunki zadania były spełnione, czyli \(x<2\), funkcja ta musi mieć jedno miejsce zerowe takie, że \(0<t<3^2\).
Rozpatrzmy przypadki:
(liniowy) \(m=2\So t={2\over3}\), zatem warunki zadania są spełnione,
janusz55 pisze: ↑15 lip 2024, 20:51
Dane równanie wykładnicze ma dokładnie jeden pierwiastek mniejszy od \( 2 \) wtedy i tylko wtedy, gdy równanie \( (1) \) ma dokładnie jeden pierwiastek będącą liczbą dodatnią większą od \( 2.\)
Równanie \( (0) \) ma dokładnie jeden pierwiastek \( 0< x_{0} < 2, \) wtedy i tylko wtedy, gdy równanie \( (1) \) ma dokładnie jeden pierwiastek \( 1 < t_{0} < 9. \)
Warunek ten jest spełniony w następujących przypadkach:
1.
Istnieje tylko jeden pierwiastek dodatni \( 1< t_{0} < 9 \), gdy