Dziwna funkcja wykładnicza z parametrem

[Loikhok]

Dla jakich wartości parametru m dokładnie jeden pierwiastek równania
\((m − 2) 9^x + (m + 1) 3^x − m = 0\)
jest mniejszy od 2?

Ja i kolega bylibyśmy bardzo wdzięczni za rozwiązanie i wyjaśnienie go

[janusz55]

Stosując podstawienie \( 3^{x} = t, \ \ t>0, \) zastępujemy dane równanie wykładnicze równaniem kwadratowym z niewiadomą \( t \)

\( (m-2)t^2 + (m+1)t - m = 0, \ \ (1) \)

którego kolejnymi współczynnikami są: \( a = m-2, \ \ b = m+1, \ \ c = m. \)

Dane równanie wykładnicze ma dokładnie jeden pierwiastek mniejszy od \( 2 \) wtedy i tylko wtedy, gdy równanie \( (1) \) ma dokładnie jeden pierwiastek będącą liczbą dodatnią większą od \( 2.\)

Musi więc być spełniona alternatywa warunków:

\(\left( a=0 \ \ i \ \ b\neq 0 \ \ i \ \ \frac{-c}{b}>2 \right) \ \ lub \ \ \left( a\neq 0 \ \ i \ \ \Delta = 0 \ \ i \ 0 <\frac{-b}{2a}<2\right) \ \ (2)\)

gdzie wyróżnik \( \Delta = (m+1)^2 + 4(m-2)m. \)

Proszę rozwiązać alternatywę warunków \( (2). \)

[Jerry]

Rozpatrzmy \(y=f(\color{red}{t})=(m-2)t^2+(m+1)t-m\), gdzie \(t=3^x>0\), określoną na \(D=\rr_+\). Aby warunki zadania były spełnione, czyli \(x<2\), funkcja ta musi mieć jedno miejsce zerowe takie, że \(0<t<3^2\).
Rozpatrzmy przypadki:

1. (liniowy) \(m=2\So t={2\over3}\), zatem warunki zadania są spełnione,
2. (kwadratowy) \(m\ne2\)
   • \(\left(\begin{cases}\Delta(m)=0\\0<t_0<9\end{cases}\iff\begin{cases}m={1\over5}\vee m=1\\ 0<{-m-1\over2m-4}<9\end{cases}\right)\So \left(m={1\over5}\vee m=1\right)\),
   • \(\left(\Lim_{t\to0^+}f(t)=0\iff m=0\right)\So t_2={1\over2}\), czyli warunki zadania są spełnione,
   • \(\left(f(9)=0\iff m={153\over89}\right)\So t_2=-{153\over172}\), czyli warunki zadania nie są spełnione.
   • \(\left(\begin{cases}\Lim_{t\to0^+}f(t)<0\\f(9)>0\end{cases}\vee\begin{cases}\Lim_{t\to0^+}f(t)>0\\f(9)<0\end{cases}\right)\iff\Lim_{t\to0^+}f(t)\cdot f(9)<0\iff m\in(-\infty;0)\cup\left({153\over89},+\infty\right)\)

Pozostaje zebrać wyniki...

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia!

[edited]

Dane równanie wykładnicze ma dokładnie jeden pierwiastek mniejszy od \( 2 \) wtedy i tylko wtedy, gdy równanie \( (1) \) ma dokładnie jeden pierwiastek będącą liczbą dodatnią większą od \( 2.\)

[edited2] poprawka bad-klick po poniższym

[janusz55]

Korekta

\( (m-2)\cdot 3^{2x} + (m+1)\cdot 3^{x} -m = 0 \ \ (0) \)

\( 3^{x} = t, \ \ t>0. \)

Na podstawie monotoniczności funkcji wykładniczej

\( 0 < x < 2 \rightarrow 3^{x} = t \in (1, \ \ 9). \)

\( (m-2)\cdot t^2 + (m+1)\cdot t -m = 0 \ \ (1) \)

\( f(t) = (m-2)\cdot t^2 + (m+1)\cdot t -m.\)

\( a = m-2, \ \ b = m+1, \ \ c = -m.\)

Równanie \( (0) \) ma dokładnie jeden pierwiastek \( 0< x_{0} < 2, \) wtedy i tylko wtedy, gdy równanie \( (1) \) ma dokładnie jeden pierwiastek \( 1 < t_{0} < 9. \)

Warunek ten jest spełniony w następujących przypadkach:

1.
Istnieje tylko jeden pierwiastek dodatni \( 1< t_{0} < 9 \), gdy

\( (a = 0 \wedge b\neq 0 \wedge 1<-\frac{c}{b}< 9 ) \vee (a\neq 0 \wedge \Delta = 0 \wedge 1 < -\frac{b}{2a} < 9) \)

2 .
Istnieją dwa pierwiastki (jeden pierwiastek zerowy) \( t_{1} = 1 \) i \( 1 < t_{2} < 9 \), gdy

\( ( a>0 \wedge \Delta>0 \wedge \frac{c}{a} = 0 \wedge 1 < -\frac{b}{2a} <9 \wedge f(9) >0)\vee ( a<0 \wedge \Delta>0 \wedge \frac{c}{a} = 0 \wedge 1 < -\frac{b}{2a} <9 \wedge f(9) < 0)\)

3.
Istnieją dwa pierwiastki przeciwnych znaków \( t_{1}<1 \) i \( 1< t_{2} <9 \), gdy

\( ( a>0 \wedge \Delta >0 \wedge \frac{c}{a} <0 \wedge f(9) >0)\)

Rozpatrujemy każdy przypadek osobno.

Ad. 1 .
\( (m=2 \wedge m\neq 1 \wedge 1< \frac{m}{m+1} <9 ) \vee (m\neq 2 \wedge 5m^2 - 6m +1 =0 \wedge 1< -\frac{m+1}{2(m-2)} < 9 ) \)

\(\left( m=2 \wedge m\neq 1 \wedge \frac{m}{m+1}>1 \wedge \frac{m}{m+1}<9 \right) \vee \left(m\neq 2 \wedge 5\left( m-\frac{1}{5}\right)\left(m-1\right)=0 \wedge -\frac{m+1}{2(m-2)} > 1 \wedge -\frac{m+1}{2(m-2)} <9 \right) \)

\(\left( m=2 \wedge m\neq 1 \wedge \frac{m}{m+1}-1 >0 \wedge \frac{m}{m+1}- 9 <0\right) \vee \left(m\neq 2 \wedge (m=\frac{1}{5}\vee m = 1) \wedge \frac{-m-1}{2(m-2)} -1 >0 \wedge \frac{-m-1}{2(m-2)}-9 <0 \right) \)

\( \left( m=2 \wedge m\neq 1 \wedge \frac{m-m-1}{m+2} <0 \wedge \frac{m-9m -9}{m+1}<0 \right)\vee \left( m\neq 2 \wedge m= \frac{1}{5}\vee m=1)\wedge \frac{-m-1-2m +4}{2(m-2)}>0 \wedge \frac{-m-1 -18m +36}{2(m-2)}< 0 \right)\)

\( \left( m=2 \wedge m\neq 1 \wedge \frac{-1}{m+1} < 0 \wedge \frac{-8m - 9}{m+1} <0 \right) \vee \left( \frac{-3m+3}{2(m-2)}>0 \wedge \frac{-19m+35}{2(m-2)} < 0 \right) \)

\( \left( m=2 \wedge m\neq 1 \wedge m>-1 \wedge -8( m+\frac{9}{8})(m+1) <0 \right) \vee \left(m\neq 2 \wedge ( m=\frac{1}{5} \vee m= 1) \wedge -6(m-1)(m-2) >0 \wedge -38(m-\frac{35}{19} )( m-2) < 0 \right) \)

\( \left( m=2 \wedge m\neq 1 \wedge m >-1 \wedge m\in (-\frac{9}{8}, -1) \right) \vee \left ( m\neq 2 \wedge m\in (1, 2) \wedge ( m\in( -\infty, -\frac{35}{19}) \cup ( 2, +\infty) \right) \)

\( m\in \{ \emptyset\} \vee m\in \{\emptyset\} \rightarrow m\in \{\emptyset\}. \)

Ad. 2.
\( \left( m> 2\wedge 5(m-\frac{1}{5})(m-1)>0 \wedge \frac{-m}{m-2}= 0 \wedge 1 < \frac{-(m+1)}{2(m-2)}<9 \wedge (m-2)\cdot 81 +(m+1)\cdot 9 -m >0 \right) \vee \)
\( \vee \left( m<2 \wedge 5(m-\frac{1}{5})(m-1) >0 \wedge \frac{-m}{m-2}= 0 \wedge 1< \frac{-(m+1)}{2(m-2)} < 9 \wedge (m-2)\cdot 81+ (m+1)\cdot 9 -m <0 \right)\)
\( \left(m >2 \wedge m\in (-\infty, \frac{1}{5}) \cup (1, \infty) \wedge m = 0 \wedge m\neq 2 \wedge m\in(1, 2) \wedge m\in(-\infty, -\frac{35}{19})\cup (2, \infty) \wedge m> \frac{153}{89} \right) \vee \)
\( \vee \left( m< 2 \wedge m\in (-\infty, \frac{1}{5}) \cup (1, \infty) \wedge m = 0 \wedge m\neq 2 \wedge m\in(1, 2) \wedge m\in(-\infty, -\frac{35}{19})\cup (2, \infty) \wedge m< \frac{153}{89} \right) \)
\( m\in \{\emptyset\} \vee m\in \{\emptyset\} \rightarrow m \in \{\emptyset\}. \)

Ad. 3.
\( \left( m > 2 \wedge 5(m-\frac{1}{5})(m-1)>0 \wedge \frac{-m}{m-2}< 0 \wedge m > \frac{153}{89} \right) \vee\left( m < 2 \wedge 5(m-\frac{1}{5})(m-1)>0 \wedge \frac{-m}{m-2}< 0 \wedge m < \frac{153}{89} \right)\)
\( \left( m> 2 \wedge m \in (-\infty, \frac{1}{5}) \cup (1, \infty) \wedge 0 < m < 2 \wedge m> \frac{153}{89} \right)\vee \left( m < 2 \wedge m\in (-\infty, \ \ \frac{1}{5})\cup (1, \ \ \infty) \wedge 0 < m < 2 \wedge m < \frac{153}{89} \right)\)
\( m\in \{\emptyset\} \vee m\in \left(1,\ \ \frac{153}{89}\right) \rightarrow m\in \left(1, \ \ \frac{153}{89}\right).\)

\( m\in \left(1, \ \ \frac{153}{89}\right).\)

[Jerry]

Czekamy na korektę korekty...

Miłego dnia

[anka]

[*] \(\left(\begin{cases}\Lim_{t\to0^+}f(t)<0\\f(9)>0\end{cases}\vee\begin{cases}\Lim_{t\to0^+}f(t)>0\\f(9)<0\end{cases}\right)\iff\Lim_{t\to0^+}f(t)\cdot f(9)<0\iff m\in(-\infty;0)\cup\left({153\over89},+\infty\right)\)

\(\frac{153}{89}\approx1,72\)
Dla \(m=1,8\) równanie ma dwa pierwiastki.
\(x\approx -0,36, \ x \approx 2,36\)

[Jerry]

Dla \(m=1,8\) równanie ma dwa pierwiastki.
\(x\approx -0,36, \ x \approx 2,36\)

Zgoda, ale

...dokładnie jeden pierwiastek równania [...] jest mniejszy od 2

Pozdrawiam

[edited]
Wykresy może Was przekonają...

[Maciek32]

Rozpatrzmy \(y=f(f)=\)

Zapis jest ok?

[Jerry]

Już jest...

Pozdrawiam

[inter]

Dla \(m=1,8\) równanie ma dwa pierwiastki.
\(x\approx -0,36, \ x \approx 2,36\)

Czemu 1,8 nie spełnia warunków zadania, moze ktos to wyjasnic?

[Jerry]

Ja Ci tego nie wyjaśnię, bo wg mnie - spełnia!

Pozdrawiam

[anka]

Ja Ci tego nie wyjaśnię, bo wg mnie - spełnia!

Pozdrawiam

Mój błąd. Źle zrozumiałam polecenie.