Trygonometria

[Antek5]

Suma sinusów różnych kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równa 5/4. Oceń prawdziwość podanych zdań: 1.Suma kosinusów tych kątów jest równy 5/3, 2. Iloczyn sinusów tych kątów jest równy 9/32.
Nie za bardzo wiem skąd mam wiedzieć ile są równe kosinusy tych kątów, przecież nie znamy a b oraz c wiemy tylko że sina+sinb=5/4
a przecież z sin^2+cos^2=1 tego nie wyliczymy:/
Z góry dziękuję

[trollini]

W trójkącie prostokątnym sina=cosb oraz sinb=cosa. Zatem suma sinusów wynosi tyle samo co suma cosinusów.
Mając równanie, że suma sinusów wynosi 5/4, podnosisz obustronnie do kwadratu, pamiętając o wzorze skróconego mnożenia po lewej stronie. Powstanie po lewej stronie równania jedynka trygonometryczna + szukany iloczyn sinusów, zaś po prawej stronie ułamek 25/16. Wyjdzie, że suma sinusów to 9/16.

[trollini]

Mój błąd. We wzorze skróconego mnożenia powstanie 2sinacosa więc 9/16 jeszcze musisz na 2 podzielić i wyjdzie 9/32.

[Antek5]

chyba już rozumiem!
jeżeli sinα = cosβ oraz cosα = sin β to oznacza to że cosα+cosβ=5/4 czyli 1 to F
2. jeżeli chcemy obliczyć iloczyn sinusów to po prostu musimy 5/4 podniejść do kwadratu po
zamienieniu sinβ=cosα co nie?
dlatego 5/4=sina+cosa
(5/4)2=(sina+cosa)2
25/16=1+2sincos
9/16=2sincos /:2
(9/16)*1/2=sincos
9/32=sincos
czyli oznacza to że 9/32 to iloczyn naszych sinusów prawda?

[trollini]

Zgadza się. Tylko skoro masz policzyć iloczyn samych sinusów, to nie zamieniaj sinb=cosa, bo sam widzisz, że wyjdzie wówczas sinacosa zamiast sinasinb.

[Antek5]

Dziękuje!

[janusz55]

Twój tok rozwiązania zadania jest dobry. Uporządkujmy to rozwiązanie, korzystając z edytora \( \LaTeX. \)

Z treści zadania:

\( \begin{cases} \sin(\alpha) + \sin(\beta) = \frac{5}{4}, \\ \alpha + \beta = 90^{o}. \end{cases} \)

W trójkącie prostokątnym zachodzą równści:

\( \begin{cases} \sin(\alpha) = \cos(\beta), \\ \sin(\beta) = \cos(\alpha). \end{cases} \)

Dodając te równania stronami mamy:

\( \sin(\alpha)+\sin(\beta) = \cos(\beta)+\cos(\alpha) \)

Biorąc pod uwagę układ równań otrzymujemy równość:

\( \sin(\alpha)+\sin(\beta) = \cos(\beta)+\cos(\alpha) = \frac{5}{4} \neq \frac{5}{3} \)

Zdanie 1 jest zdaniem fałszywym.

Pozostaje do sprawdzenia zdanie 2.

Obliczamy iloczyn \( \sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) \)

Znowu wracamy do układu równań. Podnosimy pierwsze równanie tego układu stronami do kwadratu:

\( [\sin(\alpha) + \sin(\beta)]^2 = \sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) + \sin^2(\beta) = \frac{25}{16} \ \ (*)\)

\( \sin(\beta) = \cos(\alpha) \ \ (**) \)

Podstawiając \( (**) \) do \( (*) \) otrzymujemy

\( \sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \cos^2(\alpha) = \frac{25}{16}\)

\( 1 + 2\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) = \frac{25}{16} \) (uwzględniliśmy jedynkę trygonometryczną)

\( \sin(\alpha)\cdot \cos(\alpha) = \frac{\frac{25}{16} -1}{2} = \frac{9}{32}.\)

Zdanie 2 jest zdaniem prawdziwym.