Zadania uzupełniające 2.

[Taotao2]

1.
a) Wykaż, że ośmiokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu 1 ma bok długości \( \sqrt{2- \sqrt{2} } \)

b) Obwody wielokątów foremnych wpisanych w okrąg o promieniu \(1\) czworokąta, ośmiokąta,
szesnastokąta,trzydziestodwukąta,... są odpowiednio równe: \(4 \sqrt{2} \), \(8 \sqrt{2- \sqrt{2 } } \), \(16 \sqrt{2- \sqrt{2+ \sqrt{2} } } \), \(32 \sqrt{2- \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2 }}}} \)
Ile wynosi granica tego ciągu?

2. Czy ciąg \(a_n\) ma granicę niewłaściwą?
a) \[a_n= \begin{cases} 100n^2 \ dla\ n \ nieparzystych \\ \frac{100}{n^2} \ \ \ \ \ dla \ n \ parzystych \end{cases} \]

b) \(a_n=(-1)^n \cdot n \cdot \cos n \pi \)

3. Rozwiąż
a) \(1+sin^2x+\sin^3x+... \leq 2\)

b) \(\tg x+\tg^3x+\tg^5x+...= \frac{ \sqrt{3} }{2} \) dla \(x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\)

c) \( \frac{x^2}{|x|-1}=|m| \)

4. Wyznacz przedziały mononiczności funkcji \(f(x)=x^3-27x+1\). Wykaż, że \(f(100) \leq f(101)\).

5. W jakim punkcie krzywej \(y=x^2-1\) należy poprowadzić styczną, aby trójkąt ograniczony osiami ukłądy współrzędnych i tą styczną miał najmniejsze pole?

6. Dla jakich wartości parametru \(a , b\) funkcja:
\[f(x)= \begin{cases}-x+1 \ {dla \ x\leq 0} \\ a(x-1)^2+bx \ dla \ 0> 0 \end{cases} \]

[eresh]

3. Rozwiąż
a) \(1+sin^2x+\sin^3x+... \leq 2\)

\(q=\sin^2x\\
|\sin ^2x|<1\\
\sin^2x<1\\
(\sin x-1)(\sin x+1)<0\\
\sin x\in (-1,1)\\
x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\)

\(\frac{1}{1-\sin^2x}\leq 2\\
\frac{1}{\cos^2x}\leq 2\\
1\leq 2\cos^2x\\
2\cos^2x\geq 1\\
\cos^2x\geq \frac{1}{2}\\
(\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2})(\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2})\geq 0\\
\cos x<\leq-\frac{\sqrt{2}}{2}\;\;\;\vee\;\;\;\cos x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\)
wystarczy dokończyć

[eresh]

3. Rozwiąż
b) \(\tg x+\tg^3x+\tg^5x+...= \frac{ \sqrt{3} }{2} \) dla \(x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\)

\(q=\tg^2x\\
\tg^2x<1\\
(tg x-1)(tg x+1)<0\\
-1<\tg x<1\\
x\in (-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})\)

\(\frac{\tg x}{1-\tg^2x}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
2\tg x=\sqrt{3}-\sqrt{3}\tg^2x\\
\sqrt{3}\tg^2x+2\tg x-\sqrt{3}=0\\
\tg x=t\\
\sqrt{3}t^2+2t-\sqrt{3}=0\)
dalej chyba już sobie poradzisz

[eresh]

4. Wyznacz przedziały mononiczności funkcji \(f(x)=x^3-27x+1\). Wykaż, że \(f(100) \leq f(101)\).

\(f'(x)=3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3)\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty, -3)\cup (3,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-3,3)\)
f jest rosnąca w przedziałach \((-\infty, -3],[3,\infty)\)
f jest malejąca w przedziale \([-3,3]\)

w przedziale \([3,\infty)\) f jest rosnąca, \(100\in [3,\infty),101\in [3,\infty)\) oraz 100<101 więc \(f(100)\leq f(101)\)

[eresh]

5. W jakim punkcie krzywej \(y=x^2-1\) należy poprowadzić styczną, aby trójkąt ograniczony osiami ukłądy współrzędnych i tą styczną miał najmniejsze pole?

\(f(x)=x^2-1\\
f'(x)=2x\\
P(x_0,x^2_0-1)\\\)
styczna: \(y=ax+b\)
\(a=f'(x_0)\\
a=2x_0\\
y=2x_0(x-x_0)+x_0^2-1\\
y=2xx_0-x_0^2-1\)
punkty przecięcia stycznej z osiami:
\(A(0,-x_0^2-1)\\\)
\(B(\frac{x_0^2+1}{2x_0},0)\\\)

\(P=\frac{1}{2}|AO||BO|\\
|AO|=x^2_0+1\\
|BO|=\frac{x_0^2+1}{2|x_0|}
\)

\(P=\frac{1}{2}\cdot \frac{x_0^4+2x_0^2+1}{2|x_0|}\)
\(p(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^4+2x^2+1}{2|x|}\)
p jest parzysta, więc rozwiążę dla \(x_0>0\)
\(p_1(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^4+2x^2+1}{2x}\\
p_1(x)=\frac{1}{4}\cdot (x^3+2x+\frac{1}{x})\\
p_1'(x)=\frac{1}{4}(3x^2+2-\frac{1}{x^2})\\
p_1'(x)=\frac{1}{4}\cdot \frac{3x^4+2x^2-1}{x^2}\\
p_1{_{min}}=p_1(\frac{\sqrt{3}}{3})\\
\)
styczną należy poprowadzić w punktach
\((\frac{\sqrt{3}}{3},f(\frac{\sqrt{3}}{3})), (\frac{-\sqrt{3}}{3},f(\frac{-\sqrt{3}}{3}))\)

[eresh]

1.
a) Wykaż, że ośmiokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu 1 ma bok długości \( \sqrt{2- \sqrt{2} } \)

\(|\angle ASB|=45^{\circ}\\
|AS|=|BS|=1\\
|AB|=a\\
a^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 45^{\circ}\\
a^2=2-2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\
a^2=2-\sqrt{2}\\
a=\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

[eresh]

6. Dla jakich wartości parametru \(a , b\) funkcja:
\[f(x)= \begin{cases}-x+1 \ {dla \ x\leq 0} \\ a(x-1)^2+bx \ dla \ 0> 0 \end{cases} \]

uzupełnij treść

[Taotao2]

Jest różniczkowalna w punktach \(x_1=0\) i \(x_2=1\)? Dla znalezionych \(a\) i \(b\) narysuj wykres funkcji.

[eresh]

6. Dla jakich wartości parametru \(a , b\) funkcja:
\[f(x)= \begin{cases}-x+1 \ {dla \ x\leq 0} \\ a(x-1)^2+bx \ dla \ 0> 0 \end{cases} \]

f musi być ciągła w 0

\(\Lim_{x\to 0^+}f(x)=a\\
\Lim_{x\to 0^-}f(x)=1\\
a=1\)
\(
\Lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\Lim_{h\to 0^+}\frac{a(h-1)^2+bh-1}{h}=\Lim_{h\to 0^+}\frac{h^2-2h+bh}{h}=\Lim_{h\to 0^+}(h-2+b)=b-2\\
\Lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\Lim_{h\to 0^-}\frac{-h+1-1}{h}=-1\\
b-2=-1\\
b=1\)

\(f(x)=\begin{cases}-x+1\mbox{ dla }x\leq 0\\ (x-1)^2+x\mbox{ dla }x>0\end{cases}\)