Kąty i wierzchołki

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
avleyi
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 236
Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
Podziękowania: 290 razy
Płeć:

Kąty i wierzchołki

Post autor: avleyi » 22 lis 2022, 00:07

Wewnątrz kąta o wierzchołku A i mierze \(60^ \circ \) leży punkt P. Odległość tego punktu od ramion kąta wynosi odpowiednio \(4 \sqrt{3} \) i \( \sqrt{3} \). Wykaż, że odległość punktu P od wierzchołka A jest równa \(2 \sqrt{21}\)

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2821
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 1248 razy
Płeć:

Re: Kąty i wierzchołki

Post autor: kerajs » 22 lis 2022, 01:04

Odległość AP nazwę x, a mniejszy kąt nazwę alfa.
\(\sin (60^o- \alpha )= \frac{4 \sqrt{3} }{x} \\
\frac{ \sqrt{3} }{2}\cos \alpha - \frac{1}{2} \frac{ \sqrt{3} }{x}=\frac{4 \sqrt{3} }{x} \\
x\cos \alpha-1=8\\
x \frac{ \sqrt{x^2-3} }{x}=9\\
x^2-3=81\\
x=2 \sqrt{21} \)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2498
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1259 razy

Re: Kąty i wierzchołki

Post autor: Jerry » 22 lis 2022, 18:09

Albo:
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku
001.jpg
  1. Z \(\Delta PML\) mamy \(|PM=8\sqrt3\)
  2. \(|KM|=9\sqrt3\)
  3. Z \(\Delta KMA\) mamy \(|KA|=\frac{9\sqrt3}{\sqrt3}=9\)
  4. Z \(\Delta KPA\) i tw. Pitagorasa: \(|AP|=\sqrt{9^2+\sqrt3^2}=\ldots\)
Pozdrawiam
Nie masz wymaganych uprawnień, aby zobaczyć pliki załączone do tego posta.
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2498
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1259 razy

Re: Kąty i wierzchołki

Post autor: Jerry » 22 lis 2022, 18:19

Albo, przy oznaczeniach jak wyżej:
  1. \(|\angle KPL|=120^\circ\)
  2. Z \(\Delta KPL\) i wzoru cosinusów:
    \(|KL|^2=\sqrt3^2+(4\sqrt3)^2-2\cdot\sqrt3\cdot4\sqrt3\cdot\cos120^\circ=\ldots\)
  3. \(\overline{AP}\) jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie \(KPLA\), zatem i na \(\Delta KLA\)
  4. Z \(\Delta AKL\) i wzoru sinusów:
    \(|AP|=\frac{|KL|}{\sin60^\circ}=\ldots\)
Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .