Kąty i wierzchołki

[avleyi]

Wewnątrz kąta o wierzchołku A i mierze \(60^ \circ \) leży punkt P. Odległość tego punktu od ramion kąta wynosi odpowiednio \(4 \sqrt{3} \) i \( \sqrt{3} \). Wykaż, że odległość punktu P od wierzchołka A jest równa \(2 \sqrt{21}\)

[kerajs]

Odległość AP nazwę x, a mniejszy kąt nazwę alfa.
\(\sin (60^o- \alpha )= \frac{4 \sqrt{3} }{x} \\
\frac{ \sqrt{3} }{2}\cos \alpha - \frac{1}{2} \frac{ \sqrt{3} }{x}=\frac{4 \sqrt{3} }{x} \\
x\cos \alpha-1=8\\
x \frac{ \sqrt{x^2-3} }{x}=9\\
x^2-3=81\\
x=2 \sqrt{21} \)

[Jerry]

Albo:
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku

1. Z \(\Delta PML\) mamy \(|PM=8\sqrt3\)
2. \(|KM|=9\sqrt3\)
3. Z \(\Delta KMA\) mamy \(|KA|=\frac{9\sqrt3}{\sqrt3}=9\)
4. Z \(\Delta KPA\) i tw. Pitagorasa: \(|AP|=\sqrt{9^2+\sqrt3^2}=\ldots\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Albo, przy oznaczeniach jak wyżej:

1. \(|\angle KPL|=120^\circ\)
2. Z \(\Delta KPL\) i wzoru cosinusów:
   \(|KL|^2=\sqrt3^2+(4\sqrt3)^2-2\cdot\sqrt3\cdot4\sqrt3\cdot\cos120^\circ=\ldots\)
3. \(\overline{AP}\) jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie \(KPLA\), zatem i na \(\Delta KLA\)
4. Z \(\Delta AKL\) i wzoru sinusów:
   \(|AP|=\frac{|KL|}{\sin60^\circ}=\ldots\)

Pozdrawiam

[anilewe_MM]

Jak ja bym chciała tak ogarnąć geometrię jak Wy...