Pogmatwanie przy pierwiastkach

[viGor027]

Cześć, im bardziej się zaczynam zastanawiać nad takimi rzeczami, tym bardziej nie wiem jak powinno być, podam dwa przykłady i pytania do nich.

1) \( x\cdot\sqrt{x} \)
dziedzina tego wyrażenia to \(x \ge 0\) dlatego możemy włączyć \(x\)'a pod pierwiastek i mamy \(\sqrt{x^3} \)
a co gdy mamy takie wyrażenie? : \( x\cdot\sqrt{1-x^2} \) , wtedy dziedziną \(x\)'a jest \(x \in \langle-1,1\rangle\) więc czy mogę wprowadzić \(x\) pod pierwiastek skoro nie wiem czy jest dodatni czy ujemny ?

2) uczę się pochodnych złożonych i natrafiłem na taki przykład: \(y=\arccos \sqrt{ \frac{1-x^2}{1+x^2} } \), zastosowałem wszystkie zasady liczenia pochodnych, i w pewnym momencie przekształcając pochodną dochodzę do takiego wyrażenia: \( \sqrt{ \frac{1+x^2}{2x^2} } \cdot \sqrt{ \frac{1+x^2}{1-x^2} } \cdot \frac{2x}{(1+x^2)^2} \), w odpowiedziach dziedzina jest podana jako \(-1<x<1\), i teraz pojawia się pytanie - w odpowiedziach ostateczna odpowiedź jest taka, jakby wyciągnięto z mianownika pierwszego pierwiastka ten \(x^2\) i skrócono go z \(x\)'em z tego trzeciego ułamka najbardziej z prawej. Wygląda to dla mnie dziwnie, bo mam wrażenie, że po wyciągnięciu \(x\) przed pierwiastek powinna pojawić się na nim wartość bezwzględna, gdyż dziedzina nie precyzuje jakiego znaku jest \(x\), i wdg mojego rozumowania powinno wyglądać to tak: \( \frac{1}{|x|} \cdot \sqrt{ \frac{1+x^2}{2} } \cdot \sqrt{ \frac{1+x^2}{1-x^2} } \cdot \frac{2x}{(1+x^2)^2} \)

[radagast]

1) \( x*\sqrt{x} \)
dziedzina tego wyrażenia to \(x \ge 0\) dlatego możemy włączyć x'a pod pierwiastek i mamy \(\sqrt{x^3} \)
a co gdy mamy takie wyrażenie? : \( x*\sqrt{1-x^2} \) , wtedy dziedziną x jest \(x \in <-1,1>\) więc czy mogę wprowadzić x pod pierwiastek skoro nie wiem czy jest dodatni czy ujemny ?

jak najbardziej - możesz. Po podniesieniu do kwadratu będzie już nieujemny
\( x*\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2(1-x^2)}=\sqrt{x^2-x^4} \)

[Icanseepeace]

a co gdy mamy takie wyrażenie? : \( x*\sqrt{1-x^2} \) , wtedy dziedziną x jest \(x \in <-1,1>\) więc czy mogę wprowadzić x pod pierwiastek skoro nie wiem czy jest dodatni czy ujemny ?

Możesz pod warunkiem, że będziesz się "bawił" w przypadki. Zastosowanie wzoru na pochodną iloczynu jest przyjemniejsze.

2) uczę się pochodnych złożonych i natrafiłem na taki przykład: \(y=arccos \sqrt{ \frac{1-x^2}{1+x^2} } \), zastosowałem wszystkie zasady liczenia pochodnych, i w pewnym momencie przekształcając pochodną dochodzę do takiego wyrażenia: \( \sqrt{ \frac{1+x^2}{2x^2} } * \sqrt{ \frac{1+x^2}{1-x^2} } * \frac{2x}{(1+x^2)^2} \), w odpowiedziach dziedzina jest podana jako \(-1<x<1\), i teraz pojawia się pytanie - w odpowiedziach ostateczna odpowiedź jest taka, jakby wyciągnięto z mianownika pierwszego pierwiastka ten \(x^2\) i skrócono go z \(x'em\) z tego trzeciego ułamka najbardziej z prawej. Wygląda to dla mnie dziwnie, bo mam wrażenie, że po wyciągnięciu x przed pierwiastek powinna pojawić się na nim wartość bezwględna, gdyż dziedzina nie precyzuje jakiego znaku jest x, i wdg mojego rozumowania powinno wyglądać to tak: \( \frac{1}{|x|} * \sqrt{ \frac{1+x^2}{2} } * \sqrt{ \frac{1+x^2}{1-x^2} } * \frac{2x}{(1+x^2)^2} \)

Po pierwsze: ta funkcja nie jest różniczkowalna w zerze, więc dziedzina pochodnej powinna być podana jako: \( 0 < |x| < 1 \).
Po drugie: Oczywiście odpowiedź powinna wyglądac następująco: \( y\ = \frac{\sqrt{2} \cdot x}{(1+x^2) \cdot \sqrt{1 - x^2} \cdot |x|} \) czy też \( \frac{\sqrt{2} \cdot sgn(x) }{(1+x^2) \cdot \sqrt{1 - x^2}} \)
Jednak wydaje mi się, że tutaj bardziej chodziło celem ćwiczenia było poprawne zastosowanie wzoru na pochodną funkcji złożonej. Co nie tłumaczy tego, że pod koniec w odpowiedzi jest błąd.

[radagast]

2) uczę się pochodnych złożonych i natrafiłem na taki przykład: \(y=\arccos \sqrt{ \frac{1-x^2}{1+x^2} } \), zastosowałem wszystkie zasady liczenia pochodnych, i w pewnym momencie przekształcając pochodną dochodzę do takiego wyrażenia: \( \sqrt{ \frac{1+x^2}{2x^2} } \cdot \sqrt{ \frac{1+x^2}{1-x^2} } \cdot \frac{2x}{(1+x^2)^2} \), w odpowiedziach dziedzina jest podana jako \(-1<x<1\), i teraz pojawia się pytanie - w odpowiedziach ostateczna odpowiedź jest taka, jakby wyciągnięto z mianownika pierwszego pierwiastka ten \(x^2\) i skrócono go z \(x\)'em z tego trzeciego ułamka najbardziej z prawej. Wygląda to dla mnie dziwnie, bo mam wrażenie, że po wyciągnięciu \(x\) przed pierwiastek powinna pojawić się na nim wartość bezwzględna, gdyż dziedzina nie precyzuje jakiego znaku jest \(x\), i wdg mojego rozumowania powinno wyglądać to tak: \( \frac{1}{|x|} \cdot \sqrt{ \frac{1+x^2}{2} } \cdot \sqrt{ \frac{1+x^2}{1-x^2} } \cdot \frac{2x}{(1+x^2)^2} \)

Masz rację. W odpowiedziach jest źle .
Wykres tej funkcji :

Zrzut ekranu 2022-06-19 133305.png

Czyli usunięcie zera z dziedziny pochodnej - niezbędne

[viGor027]

1) \( x*\sqrt{x} \)
dziedzina tego wyrażenia to \(x \ge 0\) dlatego możemy włączyć x'a pod pierwiastek i mamy \(\sqrt{x^3} \)
a co gdy mamy takie wyrażenie? : \( x*\sqrt{1-x^2} \) , wtedy dziedziną x jest \(x \in <-1,1>\) więc czy mogę wprowadzić x pod pierwiastek skoro nie wiem czy jest dodatni czy ujemny ?

jak najbardziej - możesz. Po podniesieniu do kwadratu będzie już nieujemny
\( x*\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2(1-x^2)}=\sqrt{x^2-x^4} \)

Resztę zrozumiałem, ale jeszcze do tej sytuacji mam kolejne pytanko, które strasznie mnie męczy, możemy wprowadzić x pod pierwiastek w tym przykładzie - jak już wspomniałaś staje się on nieujemny pod pierwiastkiem, a teraz chcę go z powrotem wyciągnąć, więc pierwiastkując kwadrat, z definicji mamy wart.bezw., a dziedzina to \(x \in <-1,1>\), więc nie wiemy jak opuścić wart.bezw. - czyli co... nie wróciło do postaci z przed chwili... ? XD Raczej nie obaliłem praw matematyki, ale na bank gdzieś w mojej logice jest błąd - generalizując, zapisując wyrażenie za pomocą wykładników mamy 1/2 * 2 w wykładniku - mnożenie jest przemienne więc teoretycznie mogę podnieść pierwiastek do 2. lub spierwiastkować kwadrat, i wtedy patrzę na dziedzinę i widzę, czy opuszczam wart.bezw. ze zmianą znaków czy bez. To w zestawieniu z powyższym przykładem powoduje u mnie zgrzyt, no bo przecież mogę, jak już wyżej wspomniałem, ponownie wyciągnąć x przed pierwiastek, wchodzi wart.bezw., ale już wtedy z dziedziny nie uzyskam informacji jak opuścić wart.bezw. bo jest ona określona jako \(x \in <-1,1>\)

[radagast]

Masz rację. Udzieliłam błędniej odpowiedzi

jak najbardziej - możesz. Po podniesieniu do kwadratu będzie już nieujemny
\( x*\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2(1-x^2)}=\sqrt{x^2-x^4} \)

Nie jest prawdą, że \( x*\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x^2(1-x^2)} \) .To jest prawda tylko dla dodatnich x.
To jest wykres funkcji \( y=x*\sqrt{1-x^2}\)

:Zrzut ekranu 2022-06-20 134230.png

,
a to jest wykres funkcji \(y=\sqrt{x^2(1-x^2)}\)

:Zrzut ekranu 2022-06-20 134534.png

Czyli: x możesz wstawić pod pierwiastek ale świadomie