oblicz 2

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
anilewe_MM
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 20
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 40 razy
Płeć:

oblicz 2

Post autor: anilewe_MM » 08 gru 2021, 14:38

Wiedząc, że \(a+b+c=0\) i \(abc=2\) oblicz \(a^3+b^3+c^3\).

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1719
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 23 razy
Otrzymane podziękowania: 807 razy

Re: oblicz 2

Post autor: Jerry » 08 gru 2021, 15:22

\(a+b+c=0\iff a+b=-c\)

\(a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-(-c)^3=a^3+b^3-(a+b)^3=a^3+b^3-a^3-b^3-3ab(a+b)=\\ \quad=-3ab(-c)=3abc=3\cdot2=6\)

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5114
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 18 razy
Otrzymane podziękowania: 2045 razy
Płeć:

Re: oblicz 2

Post autor: panb » 08 gru 2021, 15:27

anilewe_MM pisze:
08 gru 2021, 14:38
Wiedząc, że \(a+b+c=0\) i \(abc=2\) oblicz \(a^3+b^3+c^3\).
\((a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+6abc+ 3(a^2 (b + c) + b c (b + c) + a (b^2 + c^2))\)
\(a^3+b^3+c^3\) - szukane, \(6abc=6 \cdot 2=12\)

\( \begin{cases}a+b+c=0 \So b+c=-a \\ abc=2 \So bc= \frac{2}{a}\end{cases}\\
(b+c)^2=b^2+c^2+2bc \So b^2+c^2=(b+c)^2-2bc= (-a)^2-2 \cdot \frac{2}{a} =a^2- \frac{4}{a} \)


Wstawiamy
\[(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+6abc+ 3(a^2 (b + c) + b c (b + c) + a (b^2 + c^2)) \iff\\
\iff 0^3=a^3+b^3+c^2+12+3 \left[a^2(-a)+ \frac{2}{a} \cdot (-a) +a \cdot \left(a^2- \frac{4}{a} \right) \right] \iff \\
\iff 0=a^3+b^3+c^3+12+3(-a^3-2+a^3-4)\iff a^3+b^3+c^3=18-12=6\]