Wykaż że liczba jest naturalna

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
brother
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 paź 2020, 17:45
Płeć:

Wykaż że liczba jest naturalna

Post autor: brother » 17 paź 2020, 11:14

Wykaż, że liczba \(\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10}-\sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}\) jest naturalna.


Jak to mam zrobić, pod pierwiastkiem wyjdzie 1296 i 6561 ?

Awatar użytkownika
szw1710
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 257
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 73 razy
Płeć:

Re: Wykaż że liczba jest naturalna

Post autor: szw1710 » 17 paź 2020, 11:43

Niech \(x\) będzie liczbą, o której mowa w zadaniu. Oznaczmy \(a=\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10},\ b=\sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}.\) Wtedy \(a^3-b^3=20\) oraz \(a^3b^3=8\), czyli \(ab=2\). Dalej, \(x^3=a^3-b^3-3ab(a-b)=20-6x.\) Rozwiązując równanie \(x^3+6x-20=0\) stwierdzamy, że \((x-2)(x^2+2x+10)=0,\) a jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=2.\) Po sprawie.

Uwaga. Zastosowałem redakcję podręcznikową czyli styl quasi-naukowy. Do Ciebie należy uzupełnienie wszystkich rachunków (skąd się to wszystko wzięło)? Pomysłem w zadaniu jest oznaczenie \(x=a-b\), zaś reszta jest umiejętnym liczeniem połączonym z wiedzą typu już to kiedyś robiłem. Proszę Koleżanki i Kolegów o nie uzupełnianie rachunków za autora posta. :)
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.

Awatar użytkownika
Jerry
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 409
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 188 razy

Re: Wykaż że liczba jest naturalna

Post autor: Jerry » 17 paź 2020, 12:42

brother pisze:
17 paź 2020, 11:14
... pod pierwiastkiem wyjdzie 1296 i 6561 ?
A jakżeś to policzył?

Ponieważ (znalezione metodą prób i błędów)
-) \(\sqrt[3]{6\sqrt3+10}=\sqrt3+1\), bo \((\sqrt3+1)^3=3\sqrt3+3\cdot3\cdot1+3\cdot\sqrt3\cdot1+1=6\sqrt3+10\),
-) \(\sqrt[3]{6\sqrt3-10}=\sqrt3-1\), bo \((\sqrt3-1)^3=3\sqrt3-3\cdot3\cdot1+3\cdot\sqrt3\cdot1-1=6\sqrt3-10\),
to wystarczy podstawić i odjąć...

Pozdrawiam
PS. \(6\sqrt3+10\approx20,39\)

[edited]
szw1710 pisze:
17 paź 2020, 11:43
Proszę Koleżanki i Kolegów o nie uzupełnianie rachunków za autora posta. :)
Wybacz, proszę!

brother
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 paź 2020, 17:45
Płeć:

Re: Wykaż że liczba jest naturalna

Post autor: brother » 17 paź 2020, 13:13

Dziękuje wam za wytłumaczenie i pomoc

Awatar użytkownika
szw1710
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 257
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 73 razy
Płeć:

Re: Wykaż że liczba jest naturalna

Post autor: szw1710 » 17 paź 2020, 14:24

szw1710 pisze:
17 paź 2020, 11:43
Proszę Koleżanki i Kolegów o nie uzupełnianie rachunków za autora posta. :)
Wybacz, proszę!

Tu jest to uzasadnione, bo pokazujesz inną metodę, a nie odnosisz się do tej, którą zastosowałem. Tak jak pokazujesz, też się robi, jednak potrzeba tu dużej spostrzegawczości. :) Pierwotnie też chciałem w to wejść.
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.

brother
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 16 paź 2020, 17:45
Płeć:

Re: Wykaż że liczba jest naturalna

Post autor: brother » 17 paź 2020, 14:36

[ciach]
Ostatnie zadanie jakie przerabiam, ciągle żle mi wychodzi ;/
Ostatnio zmieniony 17 paź 2020, 20:41 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: takie "teksty spokojnie pisze się w kodzie

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 14499
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 8529 razy
Płeć:

Re: Wykaż że liczba jest naturalna

Post autor: eresh » 17 paź 2020, 14:51

Nie dopisuj zadań, utwórz nowy temat. Przepisz treść, nie wstawiaj zdjęć