styczne do okrągu

[BarT123oks]

Z punktu \(A=(7,-1)\) poprowadzono styczne do okręgu opisanego równaniem \(x^2+y^2+6x-2y=10\). Wyznacz pole trójkąta \(APS\), gdzie \(P,\ S\) to punkty styczności tego okręgu ze stycznymi

[Jerry]

• Środkiem danego okręgu jest \(Q(-3,1)\) a promieniem \(r=2\sqrt5\).
• \(|AQ|=\sqrt{10^2+2^2}=2\sqrt{26}\)
• \(|AP|=|AS|=\sqrt{|AQ|^2-r^2}=2\sqrt{21}\)
• jeśli \(M\) jest środkiem odcinka \(\overline{PS}\) oraz \(|PS|=a>0\) i \(|AM|=h>0\), to z podobieństwa trójkątów prostokątnych:
  \(\frac{{1\over2}a}{2\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt5}{2\sqrt{26}}\wedge\frac{h}{2\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{2\sqrt{26}}\\
  a=2\sqrt{210\over13}\wedge h=\frac{42}{\sqrt{26}}\)
• \(S_{\Delta APS}={1\over2}\cdot 2\sqrt{210\over13}\cdot\frac{42}{\sqrt{26}}=\frac{42\sqrt{105}}{13}\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia...