Geometria analityczna.

[Taotao2]

Punkty \(A = (− 2,− 4) \) i \(B = (11,− 2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC \). Wierzchołek \(C\) tego trójkąta leży na prostej \(y = 2x + 14\) , a dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \( AB \) w punkcie \(D =(\frac{7}{3}, - \frac{10}{3})\) . Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) trójkąta \( ABC.\)

[radagast]

Pracochłonne. Plan działania jest taki :
1)policz |AD| i |DB|
2)oznacz C(x,y) czyli C(x,2x+14)
3)policz |AC| i |BC|
4)Z tw o dwusiecznej \( \frac{|AC|}{|BC|}= \frac{|AD|}{|DB|} \) - to jest równanie liniowe z niewiadomą x . Jak się nie pomylisz to masz odpowiedź

[Taotao2]

Mogłabyś napisać co Ci wyszło w 1) i 2).

[maria19]

https://matematykaszkolna.pl/strona/4578.html

[janusz55]

Poglądowy rysunek trójkąta \( ABC \) w prostokątnym układzie współrzędnych zgodny z treścią zadania.

Współrzędne wierzchołków trójkąta:

\( A = (-2, 4), \ \ B = (11, -2), \ \ C = (x, 2x+14).\)

Stosujemy twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta:

" Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli bok przeciwległy na dwa odcinki. których stosunek długosci jest równy stosunkowi długości pozostałych boków".

Na podstawie twierdzenia możemy ułożyć proporcję:

\( \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|DB|} \ \ (1) \)

Podnosimy obie strony \( (1) \) do kwadratu, uwzględniamy własność wartości bezwzględnej:

\( \frac{|AC|^2}{|BC|^2} = \frac{|AD|^2}{|DB|^2} \)

Stosując wzór na kwadrat odległości dwóch punktów w prostokątnym układzie współrzędnych mamy:

\( \frac{(x+2)^2 +(2x+18)^2}{(x-11)^2+ (2x+16)^2} = \frac{\left(\frac{7}{3} +2 \right)^2+ \left(-\frac{10}{3}+4 \right)^2}{\left(11 -\frac{7}{3}\right)^2 + \left(-2 +\frac{10}{3} \right)^2}\)

Stosując wzory na sumę i różnicę kwadratu dwumianu mamy:

\(\frac{x^2+4x+4+4x^2+72x+324}{x^2-22x+121+4x^2+64x+256} = \frac{\left(\frac{13}{3}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2}{\left(\frac{26}{3}\right)^2+ \left(\frac{4}{3}\right)^2} \)

Po porządkowaniu wyrazów podobnych i wykonaniu potęg na ułamkach, otrzymujemy

\( \frac{5x^2 +76x +328}{5x^2+42x+377}= \frac{173}{692}= \frac{1}{4}, \ \ 5x^2 +42x +377 >0 \)

Po wymnożeniu na krzyż

\( 5x^2 +262 x +935 = 0. \)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe na wartość współrzędnej \( x \) wierzchołka \( C \).

Rozwiązaniami są liczby \( x_{1} = -5, \ \ x_{2} = -12\frac{7}{15} \)

Mamy dwa trójkąty spełniające warunki zadania:

\( \Delta ABC :\) o wierzchołkach \( A=(-2,-4), \ \ B = (11,-2), \ \ C= (-5, 4). \)

\( \Delta ABC_{1}: \) o wierzchołkach \( A=(-2,-4), \ \ B = (11,-2), \ \ C_{1} = (-12\frac{7}{15}, -10\frac{14}{15}). \)

[Robakks]

Pracochłonne. Plan działania jest taki :
1)policz |AD| i |DB|
2)oznacz C(x,y) czyli C(x,2x+14)
3)policz |AC| i |BC|
4)Z tw o dwusiecznej \( \frac{|AC|}{|BC|}= \frac{|AD|}{|DB|} \) - to jest równanie liniowe z niewiadomą x . Jak się nie pomylisz to masz odpowiedź

Można inaczej

Obliczmy współczynniki kierunkowe prostych
\(AB\) , (jeżeli chcemy wyeliminować przypadek trójkąta zdegenerowanego)
oraz \(BC,CD,AC\)

i teraz

\(\frac{m_{BC} - m_{CD}}{1+m_{BC} \cdot m_{CD}} = \frac{m_{CD} - m_{AC}}{1+m_{CD} \cdot m_{AC}}\)

gdzie \(m_{BC}\) jest współczynnikiem kierunkowym prostej przechodzącej przez punkty B oraz C
\(m_{CD}\) jest współczynnikiem kierunkowym prostej przechodzącej przez punkty C oraz D
\(m_{AC}\) jest współczynnikiem kierunkowym prostej przechodzącej przez punkty A oraz C

[Doni67]

Rozwiń myśl. Podaj jak to będzie dalej wyglądać.
Co to znaczy "współczynniki kierunkowe prostych \( AB\)".

[Robakks]

Doni
CD jest dwusieczną kąta ACB
więc kąty BCD i DCA będą miały takie same miary
Znając współczynniki kierunkowe odpowiednich prostych możemy policzyć tangensy wyżej wymienionych kątów
Aby uzasadnić wzorek który podałem można wyjść z tego że współczynnik kierunkowy prostej to tangens kąta nachylenia
tej prostej do osi odciętych
Następnie kąt między prostymi będzie równy co do miary różnicy kątów nachylenia tych prostych do osi odciętych
i ze wzoru na tangens różnicy otrzymamy wzorek który tutaj napisałem

W przypadku prostej \(AB\) potrzebujemy tak naprawdę całego równania prostej a nie tylko
współczynnika kierunkowego bo równania prostej \(AB\)
użyjemy do wyeliminowania przypadku trójkąta zdegenerowanego
Jeżeli chodzi o proste \(BC\), \(CD\), \(AC\)
to wystarczą nam współczynniki kierunkowe tych prostych

[nijak]

Możesz obliczyć to tym sposobem, który podałeś?. Jestem ciekawy tego dosyć nietuzinkowego podejścia

[Robakks]

\(A=\left(-2,-4\right)\) , \(B= \left( 11,-2\right) \), \(C= \left(p,2p+14 \right) \), \(D = \left(\frac{7}{3},-\frac{10}{3} \right) \)

1. Wyznaczmy równanie prostej \(AB\)
Pozwoli to nam wyeliminować przypadek trójkąta zdegenerowanego

\(y- \left(-2 \right)=\frac{-2- \left(-4 \right) }{11- \left(-2 \right) } \left( x-11\right)\\
y+2 = \frac{2}{13} \left(x-11 \right)
y+2 = \frac{2}{13} x -\frac{22}{13}\\
y = \frac{2}{13} x - \frac{48}{13}\\
\)

2. Obliczmy współczynniki kierunkowe prostych \(BC\) , \(CD\),\(AC\)

\(
m_{BC}=\frac{ \left(2p+14 \right)- \left(-2 \right) }{p - 11}\\
m_{BC} = \frac{2p+16}{p - 11}\\
m_{CD} = \frac{\frac{-10}{3}- \left(2p+14 \right) }{\frac{7}{3}-p}\\
m_{CD} = \frac{6p+52}{3p-7}\\
m_{AC} = \frac{ \left(2p+14 \right) - \left(-4 \right) }{p- \left(-2 \right) }\\
m_{AC} = \frac{2p+18}{p+2}\\
\)

3. Wstawmy obliczone współczynniki kierunkowe do równości
\(\frac{m_{BC} - m_{CD}}{1+m_{BC} \cdot m_{CD}}=\frac{m_{CD}-m_{AC}}{1+m_{CD} \cdot m_{AC}}\)

\( \frac{\frac{2p+16}{p - 11} - \frac{6p+52}{3p-7}}{1 + \frac{2p+16}{p - 11} \cdot \frac{6p+52}{3p-7}} = \frac{\frac{6p+52}{3p-7} - \frac{2p+18}{p+2}}{1 + \frac{6p+52}{3p-7} \cdot \frac{2p+18}{p+2}} \\
\frac{\frac{ \left(2p+16 \right) \left(3p-7 \right) - \left(6p+52 \right) \left(p-11 \right) }{ \left(p-11 \right) \left(3p-7 \right) }}{ \frac{\left(p-11 \right) \left(3p-7 \right)+ \left(2p+16 \right) \left(6p+52 \right) }{ \left(p-11 \right) \left(3p-7 \right) } } = \frac{ \frac{ \left(6p+52 \right) \left(p+2 \right)- \left(2p+18 \right) \left(3p-7 \right) }{ \left(3p-7 \right) \left(p+2 \right) } }{ \frac{\left(3p-7 \right) \left(p+2 \right)+ \left(6p+52 \right) \left(2p+18 \right) }{ \left(3p-7 \right) \left(p+2 \right)} }\\
\frac{ \left(2p+16 \right) \left(3p-7 \right)- \left(6p+52 \right) \left(p-11 \right) }{ \left(p-11 \right) \left(3p-7 \right)+ \left( 2p+16\right) \left(6p+52 \right) } = \frac{ \left(6p+52 \right) \left(p+2 \right)- \left(2p+18 \right) \left(3p-7 \right) }{ \left(3p-7 \right) \left(p+2 \right)+ \left(6p+52 \right) \left(2p+18 \right) }\\
\frac{ \left(6p^2 - 14p+48p -112 \right) - \left(6p^2-66p+52p -572 \right) }{3p^2-7p-33p+77+12p^2+104p+96p+832} = \frac{ \left(6p^2+12p+52p+104 \right) - \left(6p^2-14p+54p-126 \right) }{3p^2+6p-7p-14+12p^2+108p+104p+936} \\
\frac{ \left(6p^2+34p-112 \right)- \left(6p^2-14p-572 \right) }{15p^2+160p+909} = \frac{ \left(6p^2+64p+104 \right) - \left(6p^2+40p-126 \right) }{15p^2+211p+922}\\
\frac{48p+460}{15p^2+160p+909}=\frac{24p+230}{15p^2+211p+922}\\
\frac{48p+460}{15p^2+160p+909} - \frac{24p+230}{15p^2+211p+922} = 0\\
\left(24p+230 \right) \left(\frac{2}{15p^2+160p+909} - \frac{1}{15p^2+211p+922} \right) \\
\left(24p+230 \right) \left(\frac{2 \left(15p^2+211p+922 \right)- \left(15p^2+160p+909 \right) }{ \left( 15p^2+160p+909\right) \left(15p^2+211p+922 \right) } \right)=0 \\
\left(24p+230 \right)\frac{30p^2+422p+1844-15p^2-160p-909}{ \left( 15p^2+160p+909\right) \left(15p^2+211p+922 \right)} = 0\\
\left(24p+230 \right) \frac{15p^2+262p+935}{\left( 15p^2+160p+909\right) \left(15p^2+211p+922 \right)} = 0\\
\left(24p+230 \right) \left(15p^2+262p+935 \right) = 0\\
\Delta = 262^2-4 \cdot 15 \cdot 935\\
\Delta = 68644 - 60 \cdot 935\\
\Delta = 68644 - 300 \cdot 187\\
\Delta = 68644 - 56100\\
\Delta = 12544\\
p_{1,2} = \frac{-262 \mp 112 }{30}\\
p_{1,2} = \frac{-131\mp 56}{15}\\
p_{1} = -\frac{187}{15}\\
p_{2} = -5\\
\)

Dla \(p=-\frac{115}{12}\) trójkąt \(ABC\) jest zdegenerowany
Można to sprawdzić wstawiając obliczone współrzędne punktu C do równania prostej \(AB\)

Dla \(p=-\frac{187}{15}\) punkt C ma współrzędne \(C= \left(-\frac{187}{15},-\frac{164}{15} \right) \)
Dla \(p = -5\) punkt C ma współrzędne \(C = \left(-5,4 \right) \)

[nijak]

Ciekawe, trudno wpaść na tę metodę.
Pozdrawiam

[Robakks]

Można by skorzystać z równania ogólnego prostej wtedy nie trzeba byłoby zakładać że równania kierunkowe tych prostych istnieją

[Taotao2]

A jak użyć tutaj równania ogólnego prostej?

[Robakks]

@Taotao2
Korzystasz z tego samego pomysłu co podałem tylko
zamiast współczynników kierunkowych prostych \(BC\),\(CD\),\(AC\)
wyznaczasz równania ogólne tych prostych i liczysz tangens kąta między prostymi

Jeżeli prosta \(l_{1}\) ma równanie \(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)
a prosta \(l_{2}\) ma równanie \(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)
to tangens kąta między prostymi wynosi \(\tan{\varphi} = \frac{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}\)
Jeżeli mianownik będzie równy zero to proste będą prostopadłe ale tutaj nie powinna zajść taka sytuacja
Można też zamiast tangensa użyć cosinusa

[Taotao2]

A napiszesz jak to będzie wyglądać z \(\cos\).