Trójkąt dowolny i punkty szczególne

[avleyi]

Mamy trójkąt dowolny ABC o bokach |AC| = 9, |BC| = 7 i |AB| = 8. Oblicz odległości punktów szczególnych od siebie (każdego od każdego).

Punkty szczególne to chodzi o środki okręgów opisanego i wpisanego, środek ciężkości i ortocentrum.

Niby nie mam obliczonego tylko środka okręgu opisanego i odległości między innymi punktami, ale nie wiem czy reszta jest dobrze.

[Jerry]

Może prosta Eulera pomoże

Pozdrawiam

[edited]

Rysunek Geogebry z przybliżonymi odpowiedziami

[Jerry]

Brutalnie i pracowicie, ale skutecznie... Wprowadźmy wygodny układ współrzędnych...
Trójkąt o wierzchołkach \(A(-6,0),\ B(2,0),\ C(0,3\sqrt5)\) spełnia warunki zadania. Wtedy, w skrócie, korzystając z wzoru albo pisząc równania prostych (wysokości, symetralnych boków, dwusiecznych kątów wewnętrznych) i rozwiązując układy z tych równań można doliczyć

1. środkiem ciężkości jest \(\left(-{4\over3},\sqrt5\right)\)
2. ortocentrum jest \(\left(0,{4\sqrt5\over5}\right)\)
3. środkiem okręgu opisanego jest \(\left(-2,{11\sqrt5\over10}\right)\)
4. środkiem okręgu wpisanego jest \(\left(-1,\sqrt5\right)\)

Pozostaje doliczyć długości sześciu odcinków...

Pozdrawiam
PS. Rachunki, jak zwykle do sprawdzenia!

[edited] dopiero teraz zauważyłem, że napisałaś ten wątek w geometria analityczna

[anilewe_MM]

@Jerry
Mógłbyś rozpisać 3 i zwłaszcza 4 punkt? Proszę!

[eresh]

Mógłbyś rozpisać 3

A mogę ja?

S - środek AB
O - środek BC
\(S(-2,0)\\
O(1,\frac{3\sqrt{5}}{2})\\\)
symetralna boku AB: \(x=-2\)
symetralna boku BC:
\(a_{BC}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}\\
y=\frac{2}{3\sqrt{5}}(x-1)+\frac{3\sqrt{5}}{2}\)

środek okręgu opisanego:
\(\begin{cases}y=\frac{2}{3\sqrt{5}}(x-1)+\frac{3\sqrt{5}}{2}\\x=-2\end{cases}\\
\begin{cases}x=-2\\y=\frac{11\sqrt{5}}{2}\end{cases}
\)

[eresh]

E,D - punkty przecięcia dwusiecznych z bokami AB i CB


\(\frac{AE|}{|AC|}=\frac{|EB|}{|BC|}\\
\frac{|AE|}{9}=7\frac{8-|AE|}{7}\\
|AE|=4,5\\
|EB|=3,5\\
\vec{AE}=\frac{9}{16}\vec{AB}\\
[e+6,0]=\frac{9}{16}[8,0]\\
e=-1,5\\
E(-\frac{3}{2},0)\)
dwusieczna CE:
\(y=2\sqrt{5}x+3\sqrt{5}\)

analogicznie wyznacz dwusieczną kąta A, następnie, z układu równań, otrzymasz współrzędne środka okręgu

[Jerry]

Mógłbyś rozpisać 3 ...

Wezwany do tablicy, odezwę się... Globalnie rzecz ujmując:

Symetralną odcinka \(\overline{AB}\), z konstrukcji, jest prosta o równaniu
\[(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=(x-x_B)^2+(y-y_B)^2\]

czyli w rzeczonym zadaniu, aby wskazać środek okręgu wpisanego, wystarczy rozwiązać układ
\(\begin{cases}(x+6)^2+(y-0)^2=(x-2)^2+(y-0)^2\\(x+6)^2+(y-0)^2=(x-0)^2+(y-3\sqrt5)^2\end{cases}\)
Ale, po spostrzeżeniu (jak eresh napisała), że środek okręgu opisanego ma pierwszą współrzędną \(-2\), policzyłem z pola trójkąta:
\(P_\Delta={1\over2}\cdot8\cdot3\sqrt5=\frac{7\cdot8\cdot9}{4R}\iff R={21\sqrt5\over10}\)
rozwiązałem równanie
\(\sqrt{(-2-2)^2+(y_O-0)^2}={21\sqrt5\over10}\)
i wybrałem dodatnie (żeby we wnętrzu tego ostrokątnego trójkąta) rozwiązanie

Pozdrawiam

[Jerry]

... i zwłaszcza 4 punkt

I znowu globalnie:

Dwusieczne kątów przyległych, wyznaczonych przez dobrze określone proste \(l,\ k\) mają, z własności dwusiecznej, równanie
\[\frac{|A_lx+B_ly+C_l|}{\sqrt{A_l^2+B_l^2}}=\frac{|A_kx+B_ky+C_k|}{\sqrt{A_k^2+B_k^2}}\]

Ponieważ proste \(l_{AC}, l_{BC}\) mają równania
\(3\sqrt5x-6y+18\sqrt5=0,\ 3\sqrt5x+2y-6\sqrt5=0\),
to równanie dwusiecznej kąta \(\angle ACB\) wynika z
\(\frac{|3\sqrt5x-6y+18\sqrt5|}{\sqrt{46+36}}=\frac{|3\sqrt5x+2y-6\sqrt5|}{\sqrt{45+9}}\)
Prosta, spełniająca powyższe, o równaniu
\(2\sqrt5x-y+3\sqrt5=0\)
przecina odcinek \(\overline{AB}\) i jest szukaną dwusieczną.
W analogiczny sposób można wskazać jedną z pozostałych dwusiecznych (\(l_{AB}:y=0\)) albo:
Z pola trójkąta wyznaczyłem
\(r=\sqrt5=y_W\).
Czyli
\(2\sqrt5x_W-\sqrt5+3\sqrt5=0\iff x_W=-1\)
i tak to liczyłem.

Pozdrawiam