Prosta

[avleyi]

Dana jest prostka \(k: y = 2x + 7\) oraz punkt \(C(-5, 2)\)
a) wyznacz na prostej k punkty A i B leżące w odległości 5 od punktu C
b) oblicz pole trójkąta ABC
c) oblicz cosinus kąta ABC
d) oblicz odległośc punktu C od prostej k
e) wyznacz zbiór odciętych wszystkich punktów leżących na osi OX, dla ktorych kąt ADB jest rozwarty i D lezy na osi OX

[Jerry]

Dana jest prostka \(k: y = 2x + 7\) oraz punkt \(C(-5, 2)\)
a) wyznacz na prostej k punkty A i B leżące w odległości 5 od punktu C

Współrzędne punktów \(A,B\) spełniają układ
\(\begin{cases} y = 2x + 7\\(x+5)^2+(y-2)^2=5^2\end{cases}\)
Czyli \(A(-5,-3),\, B(-1,5)\)
Pozdrawiam

[Jerry]

b) oblicz pole trójkąta ABC

\(\begin{cases}\vec{CA}=[0,-5]\\ \vec{CB}=[4,3]\end{cases}\So S_{\Delta ABC}={1\over2}\cdot| \begin{vmatrix}0&-5\\4&3 \end{vmatrix} |=10\)

Pozdrawiam

[Jerry]

c) oblicz cosinus kąta ABC

\(\begin{cases}|\vec{BA}|=|[-4,-8]|=4\sqrt5\\ |\vec{BC}|=|[-4,-3]|=5\end{cases}\So \cos(\angle ABC)=\frac{-4\cdot(-4)+(-8)\cdot(-3)}{4\sqrt5\cdot5}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

d) oblicz odległośc punktu C od prostej k

\(d(C,k)=\frac{|2\cdot(-5)-2+7|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

e) wyznacz zbiór odciętych wszystkich punktów leżących na osi OX, dla ktorych kąt ADB jest rozwarty i D lezy na osi OX

\(D(d,0)\So\begin{cases}|\vec{DA}|=|[-5-d,-3]|=\sqrt{(-5-d)^2+(-3)^2}\\ |\vec{DB}|=|[-1-d,5]|=\sqrt{(-1-d)^2+5^2}\end{cases}\So \cos(\angle ABC)=\frac{(-5-d)\cdot(-1-d)+(-3)\cdot5}{\sqrt{(-5-d)^2+(-3)^2}\cdot\sqrt{(-1-d)^2+5^2}}\)
Aby \(\angle ABC\) rozwarty trzeba i wystarczy
\(\cos(\angle ABC)<0\iff (-5-d)\cdot(-1-d)+(-3)\cdot5<0\\ -3-\sqrt{19}<d<-3+\sqrt{19}\)

Pozdrawiam

[meitari]

oblicz odległośc punktu C od prostej k