Zadanie optymalizacyjne

[littlepandacorn]

Mam 2 zadania optymalizacyjne, których nie jestem w stanie rozwiązać. Błagam o pomoc!
Jedno z nich dotyczy graniastosłupów, drugie jest typowo z geometrii analitycznej.
Treść:
1. Skrzynka bez wieczka ma mieć kwadratową podstawę i objętości \(10 \text{ m}^3\). Koszt za metr kwadratowy materiału wynosi 4 zł za spód, 2 zł za cztery boki. Niech x i y będą długościami odpowiednio szerokości i wysokości pudełka. Niech k będzie całkowity koszt materiału potrzebnego do wykonania pudełka.
a) wyraź K jako funkcje x i znajdź jego dziedzinę
b) znajdź wymiary pudełka, aby zminimalizować koszty materiałów
c) jaki jest ten minimalny koszt?
Za każdą próbą dochodzę do momentu, że wychodzi mi liczba z pierwiastkiem z trzech, więc myślę że gdzieś się gubię.

2. Prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych ma 2 wierzchołki należące do paraboli \(y = x^2\) i bok należący do prostej \(y = 4\). Rozważamy prostokąt ma mieć największy obwód.
a) naszkicuj rysunek do zadania
b) zakładając, że x to współrzędna prawego dolnego wierzchołka prostokąta to a, znajdź wzór, który wyraża L, długość obwodu w zależności od a
c) znajdź wartość a, która daje maksymalną wartość L
d) Jaka jest maksymalna wartość L, długość obwodu prostokąta?
Tu nawet nie wiem jak zacząć..
Błagam o pomoc

[korki_fizyka]

Raczej pierwiastek 3-stopnia. Pokaż swoje próby tutaj.

[korki_fizyka]

\(V = x^2y \So y = \frac{V}{x^2}\)
\(P_p = x^2\)
\(P_b = 4xy\)

\(K = 2P_b + 4P_p= 8xy + 4x^2 = \frac{8V}{x} +4x^2\)

czyli po podstawieniu \(V = 10 \ m^3 \) : \(K(x) = \frac{80}{x} + 4x^2\)

Dziedzina x > 0

szukamy minimum czyli \(\frac{dK}{dx} = 8x - \frac{80}{x^2} = 0 \So x =\sqrt[3]{10}\ m\)

i \(y = \sqrt[3]{10}\ m\) czyli pudełko ma być sześcianem.

Minimalny koszt \(K(x =\sqrt[3]{10}) = 55,70 \ zł\)

[littlepandacorn]

Dochodzę do momentu, że wartość minimalna wychodzi dla \(x = \sqrt[3]{10}\)
Wyliczając koszty dla takiego x wychodzi, że wynoszą one w przybliżeniu \(55,77\) zł. Nie wiem czy popełniam błąd czy ten pierwiastek powinien się pojawić

[Jerry]

... Nie wiem czy popełniam błąd czy ten pierwiastek powinien się pojawić

A przeczytałaś drugi post korki_fizyka ?

2. Prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych ma 2 wierzchołki należące do paraboli \(y = x^2\) i bok należący do prostej \(y = 4\). Rozważamy prostokąt ma mieć największy obwód.

Na początek rysunek:

\(L(a)=2\cdot2a+2\cdot(4-a^2)\wedge a\in(0;2)\)
jako kwadratowa ma pewnie wartość ekstremalną w wierzchołku...

Odp.

\(L(a)=-2a^2+4a+8=-2(a-1)+10\le10\) i równość dla \(a=1\)

Pozdrawiam

[Jerry]

\(K(x) = \frac{80}{x} + 4x^2\)

Bez pochodnej, z porządku pomiędzy średnimi:
\[\frac{{40\over x}+{40\over x}+4x^2}{3}\ge\sqrt[3]{{40\over x}\cdot{40\over x}\cdot4x^2} \quad\text{i równość dla } {40\over x}={40\over x}=4x^2\\ K(x)\ge 12\sqrt[3]{100}\quad \text{i równość dla }x=\sqrt[3]{10}
\]
Pozdrawiam

[korki_fizyka]