Dowód, długość środkowej, trójkąt prostokątny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Nejji
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 08 lut 2021, 21:57

Dowód, długość środkowej, trójkąt prostokątny

Post autor: Nejji »

Witam,
Mam dwa zadania lecz nie bardzo potrafie je rozwiązać


Zad 1. Wykaż, że jeśli długość środkowej CD trójkąta ABC jest równa połowie długości boku AB, to trójkąt jest prostokątny.

Zad 2. Kąty AOC i COB są przyległe. Narysowano dwusieczne k i l tych kątów oraz prostą równoległą do prostej AB. Ta prosta przecina dwusieczne k i l odpowiednio w punktach D i E, a ramię OC w punkcie F. Wykaż, że DF = EF.


Z góry dziękuje za pomoc
Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3462
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Dowód, długość środkowej, trójkąt prostokątny

Post autor: Jerry »

Nejji pisze: 13 lip 2021, 09:30 Zad 1. Wykaż, że jeśli długość środkowej CD trójkąta ABC jest równa połowie długości boku AB, to trójkąt jest prostokątny.
Na przykład tak: Niech
\(|\angle ADC|=\alpha\)
wtedy:
-) \(|\angle BDC|=180^\circ -\alpha\)
-) z równoramienności \(\Delta ADC,\ \Delta DBC\)
\(|\angle ACD|={180^\circ-\alpha\over2},\ |\angle DCB|={180^\circ-(180^\circ-\alpha)\over2}\)
-) \(|\angle ACB|=|\angle ACD|+|\angle CDB|=\ldots=90^\circ\\ CKD\)

Pozdrawiam
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3462
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Dowód, długość środkowej, trójkąt prostokątny

Post autor: Jerry »

Nejji pisze: 13 lip 2021, 09:30 Zad 2. Kąty AOC i COB są przyległe. Narysowano dwusieczne k i l tych kątów oraz prostą równoległą do prostej AB. Ta prosta przecina dwusieczne k i l odpowiednio w punktach D i E, a ramię OC w punkcie F. Wykaż, że DF = EF.
Zrób schludny rysunek i np. zauważ:
Wobec równości kątów naprzemianległych wewnętrznie \( \begin{cases} |\angle FDO|=|\angle DOA|\\|\angle FEO|=|\angle EOB|\end{cases} \) mamy \(\Delta DOF,\ \Delta FOE\) są równoramienne i \( \begin{cases}|DF|=|FO|\\ |FO|=|FE| \end{cases} \), z czego bezpośrednio wynika teza

Pozdrawiam
PS. I w dowodzie nie jest istotna prostokątność \(\Delta DOE\) :wink:
ODPOWIEDZ