styczne

[paulinapawlak13]

Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu \(x^2+y^2-8y=4\) przechodzących przez punkt \(A=(-2;-1)\)

[korki_fizyka]

Nie znalazłaś rozwiązania w internecie, bo nie poszukałaś

[korki_fizyka]

Dodatkowy materiał do przemyśleń.

[Icanseepeace]

Styczna ma równanie:
\( Ax + By + C = 0 \)
ponieważ przechodzi przez punkt to:
\( -2A - B + C = 0 \So C = 2A + B \)
czyli równanie stycznej możemy zapisać:
\( Ax + By + 2A + B = 0 \)
środek okręgu: \( S(0,4) \) i jego promień \( r = 2\sqrt{5} \)
Ponieważ odległość środka okręgu od prostej stycznej jest równa promieniowi okręgu to korzystając z wzoru na odległość punkty od prostej dostajemy:
\( 2\sqrt{5} = \frac{|4B + 2A + B|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
\( 20A^2 + 20B^2 = 25B^2 + 20AB + 4A^2 // 16A^2 - 20AB - 5B^2 = 0 \)
Dzieląc przez \( B^2 \) i podstawiając \( t = \frac{A}{B} \) dostajemy równanie kwadratowe:
\( 16t^2 - 20t - 5 = 0 \)
Dalej pozostają już kwestie rachunkowe. Ostatecznie równania stycznych:
\( 8y = (-5 - 3\sqrt5)(x+2) - 8 \vee 8y = (-5 + 3\sqrt5)(x+2) - 8 \)