Wyznacz równania stycznych do okręgu

[HippityHoppity]

Przez punkt P = (8, 2) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu
\(x^2+ y^2 − 2x − 2y − 23 = 0 \). Wyznacz równania tych stycznych.

Ogólnie to równanie koła sprowadziłam do formy \((x-1)^2+(y-1)^2=25\), czyli koło ma środek S = (1,1) a promień 5.
Obliczyłam również długość SP = 5\(\sqrt2 \), oraz długość AP = 5 i BP = 5 (punkty A i B są punktami styczności z okręgiem)
Nie mam za bardzo pomysłów jak to dalej rozwiązać, liczę na wskazówkę

[Icanseepeace]

Ponieważ styczna jest prostą to jej równanie możemy zapisać w postaci:
\(Ax + By + C = 0 \)
Ponadto wiemy, że punkt P należy do stycznej, więc:
\( 8A + 2B + C = 0\)
Skąd możesz wyznaczyć C i podstawić go do równania stycznej dostając pęk prostych:
\( Ax + By - 8A - 2B = 0\)
Środek okręgu: \( S(1,1) \) oraz jego promień \( r = 5 \)
Teraz korzystasz z tego, że odległość środka okręgu od prostej stycznej jest równa promieniowi.
Ze wzoru na odległość punktu od prostej:
\( 5 = \frac{ |A + B - 8A - 2B|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
co po rozwiązaniu daje:
\( B = \frac{-3A}{4} \vee B = \frac{4A}{3} \)
po podstawieniu do równania stycznej i podzieleniu przez A dostaniesz szukane równania stycznych.

[HippityHoppity]

Dziękuję

[Jerry]

Albo:
Równanie pęku prostych, przechodzących przez \(P\) ma postać
\(y=m(x-8)+2\vee x=8\wedge m\in\rr\)
Czyli
\(m\cdot x-1\cdot y+(2-8m)\vee 1\cdot x+0\cdot y-8=0\)
i dalej jak u Icanseepeace

Pozdrawiam