Funkcja homograficzna.

[gr4vity]

Dana jest funkcja \(f(x) = \frac{8}{x} \). Napisz równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych, mającego dokładnie dwa punkty wspólne z wykresem funkcji \(f(x) = \frac{8}{x} \).
Środek okręgu będzie w punkcie \((0,0)\)
Punkt styczności zaznaczyłem sobie jako: \(P(x, \frac{8}{x}) \)
I z tw. Pitagorasa ułożyłem równanie na promień, przekształciłem do takiej postaci:
\(x^4-r^2x^2+64=0\)
\(t=x^2 \wedge t \ge 0\)
\(t^2-r^2t+64=0\)
I na tym etapie spotkałem się z twierdzeniem: Ze względu na ,,t'' wyróżnik tego równania jest równy zero. I dalej rozwiązanie.
Dlaczego tak jest ? Czy mógłby ktoś mi to wyjaśnić?

[eresh]

Dana jest funkcja \(f(x) = \frac{8}{x} \). Napisz równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych, mającego dokładnie dwa punkty wspólne z wykresem funkcji \(f(x) = \frac{8}{x} \).
Środek okręgu będzie w punkcie \((0,0)\)
Punkt styczności zaznaczyłem sobie jako: \(P(x, \frac{8}{x}) \)
I z tw. Pitagorasa ułożyłem równanie na promień, przekształciłem do takiej postaci:
\(x^4-r^2x^2+64=0\)
\(t=x^2 \wedge t \ge 0\)
\(t^2-r^2t+64=0\)
I na tym etapie spotkałem się z twierdzeniem: Ze względu na ,,t'' wyróżnik tego równania jest równy zero. I dalej rozwiązanie.
Dlaczego tak jest ? Czy mógłby ktoś mi to wyjaśnić?

okrąg ma być styczny w tym punkcie, więc równanie musi mieć jedno rozwiązanie - stąd wyróżnik musi być zerowy

[Jerry]

Aby

... mającego dokładnie dwa punkty wspólne z wykresem funkcji \(f(x) = \frac{8}{x} \).

równanie, dla \(x\ne0\),

\(x^4-r^2x^2+64=0\)

musi mieć dwa rozwiązania, czyli równanie, dla \(t\ne0\),

\(t^2-r^2t+64=0\)

musi mieć jedno dodatnie rozwiązanie. Ewentualne drugie - niedodatnie, bo
\(t>0\So (x_1=-\sqrt t\vee x_2=\sqrt t)\)
Ale z wzorów Viete'a wynika, że jeżeli to równanie ma rozwiązania, to tylko dodatnie.
Pozostaje warunek: równanie ma podwójne rozwiązanie, czyli \(\Delta(r)=0\)

Pozdrawiam

[edited] jak zwykle, zbyt wolno pisałem...

[Jerry]

Dana jest funkcja \(f(x) = \frac{8}{x} \). Napisz równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych, mającego dokładnie dwa punkty wspólne z wykresem funkcji \(f(x) = \frac{8}{x} \).

Alternatywnie:
Znajdźmy punkt \(P\left(x,{8\over x}\right)\) leżący najbliżej punktu \(O(0,0)\). Funkcja długości \(\overline{OP}\) ma postać:
\(d(x)=\sqrt{x^2+\left({8\over x}\right)^2}=\sqrt{{x^4+64\over x^2}}\wedge x\ne0\)
Pozostaje zoptymalizować funkcję
\(g(x)={x^4+64\over x^2}\),
której pochodna
\(g'(x)={2x(x^4-64)\over x^4}\)
zeruje się dla
\(x=\pm2\sqrt2\)
zmieniając znak z ujemnego na dodatni...
Pozostaje napisać równanie okręgu o danym środku i przechodzącego, nie przypadkiem, przez obydwa punkty \(P\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Dana jest funkcja \(f(x) = \frac{8}{x} \). Napisz równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych, mającego dokładnie dwa punkty wspólne z wykresem funkcji \(f(x) = \frac{8}{x} \).

Alternatywnie:
Skoro okrąg ma być styczny do danej hiperboli, to jego środek musi zawierać się w prostej normalnej do niej, zatem
-) \(f'(x)=-{8\over x^2}\wedge x\ne0\)
-) rodzina stycznych ma postać:
\(s_m\colon y=-{8\over m^2}(x-m)+{8\over m}\wedge m\ne0\)
gdzie \(\left(m,{8\over m}\right)\) jest punktem styczności
-) rodzina normalnych ma postać
\(n_m\colon y={m^2\over8}(x-m)+{8\over m}\wedge m\ne0\)

Pozostaje rozwiązać równanie
\(0={m^2\over8}(0-m)+{8\over m}\wedge m\ne0\)
wskazać punkty styczności i napisać równanie okręgu...

Pozdrawiam
PS. Więcej pomysłów nie mam...

[gr4vity]

Dziękuję bardzo!, jeszcze pozwolę sobie zapytać. Czy gdyby poprowadzić prostą y=-x (oś symetrii) tego wykresu, to czy odcinek łączący punkty styczności byłaby prostopadła do osi symetrii?

[kerajs]

Prosta y=x także jest symetralną hiperboli y=a/x , podobnie jak układu hiperbola i okrąg (ze środkiem w początku układu). Wtedy punkty wspólne hiperboli i okręgu także będą symetryczne. A skoro mają być tylko dwa to muszą leżeć na symetralnej tnącej hiperbolę.