Kilka zadań z działu geometria analityczna

[Alex11]

Zad 1
a)
Wyznacz równania prostych, które przechodzą przez punkt \(A = (6, 2)\) i są równo oddalone od punktów \(B = (3, -1)\) oraz \(C = (7, -1)\). Wyznaczone równania zapisz w postaci kierunkowej \(y = ax + b\) .
Podaj współczynnik a tej prostej, która ma oba współczynniki całkowite.
b)
Podaj współczynnik \(b\) tej prostej, która ma oba współczynniki całkowite.
c)
Podaj współczynnik \(b\) tej prostej, która nie ma obu współczynników całkowitych

Zad 2
a)
Trapez ma wierzchołki: \(A = (7, -4), B = (7, 1), C = (4, 2)\) i \(D = (-11, 2)\). Wyznacz równanie prostej \(y = ax + b\) zawierającej najdłuższy bok tego trapezu.
Podaj \(a\).
b)
Podaj \(b\).
c)
Wyznacz odległość podstaw tego trapezu.

Zad 3
a)
W trójkącie \(ABC\) dane są: \(A = (8, 0), B = (-1, -1)\) i \(C = (3, -5)\). Oblicz długości boków tego trójkąta.
Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.
b)
Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zad 4
Proste \((m - a + 2)x + 12y - 8 = 0\) i \(9x + (m - a - 26)y - = 0\) są prostopadłe.
Podaj najmniejsze możliwe \(m\).
Dane:
\(a = 5\)

[eresh]

Zad 2
a)
Trapez ma wierzchołki: A = (7, -4), B = (7, 1), C = (4, 2) i D = (-11, 2). Wyznacz równanie prostej y = ax + b zawierającej najdłuższy bok tego trapezu.
Podaj a.
b)
Podaj b.
c)
Wyznacz odległość podstaw tego trapezu.

\(|AB|=5\\
|BC|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\\
|CD|=15\\
|AD|=\sqrt{18^2+36}=6\sqrt{10}
\)

\(a_{AD}=\frac{2+4}{-11-7}=\frac{6}{-18}=-\frac{1}{3}\\
y=-\frac{1}{3}(x-7)-4\\
y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\)

\(y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\\
3y=-x-5\\
x+3y+5=0\\
h=\frac{|7\cdot 1+1\cdot 3+5|}{\sqrt{1+3^2}}\\
h=\frac{15}{\sqrt{10}}\\
h=\frac{3\sqrt{10}}{2}\)

[eresh]

Zad 3
a)
W trójkącie ABC dane są: A = (8, 0), B = (-1, -1) i C = (3, -5). Oblicz długości boków tego trójkąta.
Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.
b)
Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

\(|AB|=\sqrt{81+1}=\sqrt{82}\\
|BC|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}\\
|AC|=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}\)
widać, że trójkąt jest prostokątny, więc
\(P=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=20\\
R=\frac{1}{2}c\\
R=\frac{\sqrt{82}}{2}\)

[Alex11]

Zad 4
Proste \((m - a + 2)x + 12y - 8 = 0\) i \(9x + (m - a - 26)y - {7\over2} = 0\) są prostopadłe.
Podaj najmniejsze możliwe \(m\).
Dane:
\(a = 5\)

[Jerry]

Zad 4
Proste \((m - a + 2)x + 12y - 8 = 0\) i \(9x + (m - a - 26)y - {7\over2} = 0\) są prostopadłe.

Zatem musi
\((m - a + 2)\cdot9+12\cdot(m - a - 26)=0\)
Po uporządkowaniu masz zależność liniową... jeśli \(a = 5\) - do \(m\) bardzo blisko

Pozdrawiam