Jednokładność okręgu.

[Januszgolenia]

Punkt S=(s,0) jest środkiem okręgu c1, przy czym s jest liczbą ujemną. Obrazem tego okręgu w jednokładności o środku O=(4,1) i skali k=2 jest okrąg c2. Odległość środków obu okręgów jest równa \(5 \sqrt{2}\), a suma długości ich promieni wynosi \(3 \sqrt{5}\). Wyznacz równanie okręgu c2.

[eresh]

Punkt S=(s,0) jest środkiem okręgu c1, przy czym s jest liczbą ujemną. Obrazem tego okręgu w jednokładności o środku O=(4,1) i skali k=2 jest okrąg c2. Odległość środków obu okręgów jest równa \(5 \sqrt{2}\), a suma długości ich promieni wynosi \(3 \sqrt{5}\). Wyznacz równanie okręgu c2.

\(S_1=(a,b)\\
\vec{OS_1}=k\vec{OS}\\
[a-4,b-1]=2[s-4,-1]\\
a-4=2s-8\\
a=2s-4\\
b-1=-2\\
b=-1\\
S_1=(2s-4,-1)\)

\(|SS_1|=\sqrt{50}\\
\sqrt{(2s-4-s)^2+1}=\sqrt{50}\\
s^2-8s+17=50\\
s^2-8s-33=0\\
s=-3\mbox{ bo }s<0\)

\(S_1(-10,-1)\)

\(r\) - długość promienia \(c_1\)
\(r_1\) - długość promienia \(c_2\)

\(\frac{r_1}{r}=k\\
r_1=2r\\
r_1+r=3\sqrt{5}\\
3r=3\sqrt{5}\\
r=\sqrt{5}\\
r_1=2\sqrt{5}\)

\((x+10)^2+(y+1)^2=20\)