Funkcja f, punkt A i P, oraz długość AP.

[Januszgolenia]

Dane są: funkcja f, określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ge -1\) wzorem \(f(x)= \sqrt{x^3+1}\), oraz punkt A=(4,0). Rozpatrujemy wszystkie odcinki AP, których koniec P leży na wykresie funkcji f. Wyznacz współrzędne tego spośród punktów P, dla którego długość odcinka AP jest najmniejsza. Oblicz tę długość.

[eresh]

Dane są: funkcja f, określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ge -1\) wzorem \(f(x)= \sqrt{x^3+1}\), oraz punkt A=(4,0). Rozpatrujemy wszystkie odcinki AP, których koniec P leży na wykresie funkcji f. Wyznacz współrzędne tego spośród punktów P, dla którego długość odcinka AP jest najmniejsza. Oblicz tę długość.

\(P(p,\sqrt{p^3+1}, p\geq -1\\
|AP|=\sqrt{(4-p)^2+p^3+1}\\
|AP|=\sqrt{p^3+p^2-8p+17}\\
f(p)=p^3+p^2-8p+17\\
f'(p)=3p^2+2p-8\\
f'(p)>0\iff p\in(\frac{4}{3},\infty)\\
f'(p)<0\iff p\in[1,\frac{4}{3})\\
f_{min}=f(\frac{4}{3})\\
|AP|=\sqrt{f(p)}\\\)
\(|AP|\) będzie najmniejsze, gdy \(p=\frac{4}{3}\)
\(|AP|_{\min}=\frac{\sqrt{849}}{9}\)