PŁASZCZYZNY I PROSTE

[pysia824]

Mam problem z 2 zadaniami:
Zadanie 7
Płaszczyznę \(π\) o równaniu
\( \begin{cases} x = 2s + 3t + 1\\
y = −s + 2t − 1\\
z = −3s + 5t + 2\end{cases} \wedge s, t ∈ \rr \)
zapisz w postaci ogólnej (normalnej).

Zadanie 8
Wyznacz równanie prostej w postaci parametrycznej i krawędziowej:
1. przechodzącej prze punkt \((1, 2, 3)\) prostopadle przecinającą oś \(OZ\),
2. przechodzącą przez punkty \((3, −1, 3),\ (−1, −3, −5)\).

Bardzo proszę o pomoc i możliwe wytłumaczenie tych zadań.

[panb]

Mam problem z 2 zadaniami:
Zadanie 7
Płaszczyznę π o równaniu
x = 2s + 3t + 1
y = −s + 2t − 1
z = −3s + 5t + 2
s, t ∈ R,
zapisz w postaci ogólnej (normalnej).

Bardzo proszę o pomoc i możliwe wytłumaczenie tych zadań.

Współczynniki przy parametrze s [2,-1,-3] to jeden wektor, a przy parametrze t [3,2,5] to drugi wektor, na którym rozpięta jest płaszczyzna. Potrzebny nam do równania normalnego jest wektor normalny \(\vec{n}=[2,-1,-3] \times [3,2,5]= [1,-19,7]\) (mam nadzieję, że umiesz jakoś iloczyn wektorowy policzyć). Równanie normalne ma więc postać \(x-19y+7z+D=0\).
Do tej płaszczyzny należy punkt (1,-1,2) - wstaw t=s=0, więc \( D=19\cdot(-1)-1-7\cdot2=-34\).

Odpowiedź: Równanie ogólne tej płaszczyzny to \(x-19y+7z-34=0\)

[panb]

Mam problem z 2 zadaniami:
Zadanie 8
Wyznacz równanie prostej w postaci parametrycznej i krawędziowej:
1. przechodzącej prze punkt (1, 2, 3) prostopadle przecinającą oś OZ,
Bardzo proszę o pomoc i możliwe wytłumaczenie tych zadań.

Potrzebny jest wektor kierunkowy prostej. Może to być dowolny wektor prostopadły do osi OZ np. [1,1,0].
Ponieważ prosta ma przechodzić przez punkt (1, 2, 3), więc mamy gotową postać parametryczną:
\[ \begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3 \end{cases} \]

Wyznaczam t z wzoru na x : \( x=1+t \So t=x-1\)
Podstawiam do y: \(y=2+x-1=x+1\)
z nie ma t, więc gotowe równanie \( z-3=0\) ,
\(y= x+1\So x-y+1=0\)

Równanie krawędziowe tej prostej \[ \begin{cases} x-y+1=0\\z=3\end{cases} \]

[pysia824]

Dziękuję bardzo za pomoc!!