Znaleźć miejsce geometryczne środków

[lolipop692]

Znaleźć miejsce geometryczne środków równoległych cięciw paraboli \(y^2 =2x. \)Cięciwy są opisane równaniem \(y=3x+b\), gdzie b jest parametrem

[panb]

Znaleźć miejsce geometryczne środków równoległych cięciw paraboli \(y^2 =2x. \)Cięciwy są opisane równaniem \(y=3x+b\), gdzie b jest parametrem

Tym razem najpierw rysunek.

Trzeba znaleźć punkty B i C przecięcia prostej \(y=3x+b\) z parabolą, a następnie wyznaczyć współrzędne środka odcinka BC.
\( \begin{cases}y=3x+b\\y^2=2x \end{cases}\iff (3x+b)^2-2x=0 \iff 9x^2+2(3b-1)x+b^2=0 \)
Prosta będzie przecinała parabolę, gdy to ostatnie równanie będzie miało co najmniej jedno rozwiązanie.
\(\Delta=-24b+4\ge 0\iff b\le \frac{1}{6} \) (prosta \(\, y=3x+ \frac{1}{6}\) - to ta zielona przerywana na rysunku)
Dla \(b> \frac{1}{6} \) będą 2 punkty przecięcia o współrzędnych \(x_1 \text{ i }x_2\).
Pierwsza współrzędna środka S wyraża się zatem wzorem \(x_s= \frac{x_1+x_2}{2}= -\frac{ \frac{b}{a} }{2}=- \frac{b}{2a}= \frac{1-3b}{9} \)
Drugą współrzędna znajdziemy z równania prostej: \(y_s=3x_2+b=3\cdot \frac{1-3b}{9} +b= \frac{1}{3} \)
Reasumując \(\displaystyle S= \left(\frac{1-3b}{9} , \frac{1}{3}\right) \), zatem miejscem geometrycznym środków równoległych cięciw paraboli jest półprosta\( y= \frac{1}{3} \) dla takich iksów, że \(b\le \frac{1}{6}\), a ponieważ \(x=\frac{1-3b}{9} \So x\ge \frac{1}{18} \).

Odpowiedź: Miejscem geometrycznym środków równoległych cięciw paraboli \(y^2 =2x. \) równoległych do prostej \(y=3x+b\), jest półprosta \( y= \frac{1}{3},\,\, x\ge \frac{1}{18} \)

[janusz55]

Metoda rugowania parametru

\( \begin{cases} y = 3x +b \\ y^2 -2x = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3x +b \\ (3x -b) -2x = 0 \end{cases} \)

\(\begin{cases} y = 3x +b \\ 9x^2 +6bx +b^2 -2x = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3x +b \\ 9x^2 -2(1 -3b)x +b^2 = 0 \end{cases} \)

\( x_{0} = \frac{x_{1} +x_{2}}{2} = \frac{2(1 -3b)}{36} = \frac{1 -3b}{18}.\)

\( \begin{cases} y_{0} = 3x_{0} +b \\ x_{0} = \frac{1-3b}{18} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y_{0} - 3x_{0} = b \\ x_{0} = \frac{1-3b}{18} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y_{0} - 3x_{0} = b \\ x_{0} = \frac{1-3(y_{0}-3x_{0})}{18} \end{cases} \)

\( 18x_{0} = 1 -3y_{0} +9x_{0} \)

\( 9x_{0} + 3y_{0} - 1 = 0 \)

\( 9 x + 3y -1 = 0. \)