Przez krawędź płaszczyzn: x + 5y + z = 0 i x − z + 4 = 0 poprowadzić
płaszczyznę nachyloną do płaszczyzny x − 4y − 8z + 12 = 0 pod kątem \( \frac{ \pi }{4} \)
Poprowadź płaszczyznę
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Poprowadź płaszczyznę
Pewnie zdajesz sobie sprawę, że rozwiązywanie takich zadań to jest trochę pisania. Nie wiem czemu ani raz nie podziękowałeś za rozwiązanie. mam nadzieję, że nie uważasz, że to ci się należy. . Nie dziw się, że chętni do rozwiązywania i wyjaśniania nie walą drzwiami i oknami.
To tyle kazania na te niedzielę. Teraz szkic rozwiązania
- Niech szukana płaszczyzna ma równanie \(Ax+By+Cz+D=0\)
- Żeby znaleźć krawędź wspólną należy rozwiązać układ równań \( \begin{cases} x + 5y + z = 0\\ x − z + 4 = 0\end{cases} \)
Oczywiście jest to układ nieoznaczony, jedna ze zmiennych będzie parametrem. Rozwiązaniem jest równanie prostej będącej wspólną krawędzią tych płaszczyzn. \( \begin{cases}x=-4+t\\y= \frac{4}{5}- \frac{2}{5}t\\z=t \end{cases} \) lub ładniej trochę (t:=5t) \( \begin{cases}x=-4+5t\\y=\frac{4}{5}-2t\\z=5t \end{cases} \)
Oto ilustracja: - Żeby nasza płaszczyzna zawierała tę prostą, to dla każdego t współrzędne punktów z prostej muszą spełniać równanie płaszczyzny, czyli \(A(-4+5t)+B(\frac{4}{5}-2t)+C\cdot 5t +D=0, \text{ dla każdego } t\in\rr\\\) .
To będzie zachodzić wtedy, gdy \( \begin{cases}-4A+\frac{4}{5}B+D=0\\ 5A-2B+5C=0 \end{cases} \So \begin{cases}A\in\rr\\B=2,5(A+C)\\C\in\rr\\D=2(A-C) \end{cases} \) - Równanie naszej płaszczyzny można więc zapisać tak:
\(Ax+2,5(A+C)y+Cz+2(A-C)=0\)
x − 4y − 8z + 12 = 0 miał miarę \( \frac{ \pi }{4} \). Takie zadanie masz już rozwiązane - więc spróbuj dokończyć samodzielnie. Przy okazji przekonasz się, że wszyscy rozwiązujący twoje zadania zasługują na kliknięcie kciuka w górę, czyli na PODZIĘKOWANIE.