Równania stycznych do okręgu

[Amtematiksonn]

Napisz równania stycznych do okręgu o i równoległych do prostej k
\(o:\) \((x-2)^{2}\) + \((y-1)^{2}\) = \(4\) \(k: y=2x\)
Środek okręgu wyszedł mi S(2,1) a promień 2 i nie wiem co zrobić żeby wyznaczyć równanie stycznej do tego okręgu, wiem że wzór prostej będzie postaci y=2x+b

[korki_fizyka]

Środek nie musiał wychodzić bo to widać współczynnik kierunkowy prostych też łatwo wychodzi: a = 2
poza tym punkty styczności spełniają jednocześnie oba równania.

[Amtematiksonn]

Jakiś układ równań trzeba zrobić?

[korki_fizyka]

Jakie jakie? równanie okręgu i prostej y = 2x + b. Podstaw jedno do drugiego i rozwiąż r-nie kwadratowe z parametrem.

[Galen]

Odległość S=(2,1) od prostej \(2x-y+b=0\) musi być równa promieniowi okręgu.
\(\frac{|4-1+b|}{\sqrt{2^2+1^2}}=2\\|3+b|=2\sqrt{5}\\3+b=2\sqrt{5}\;\;\;\;lub\;\;\;\;3+b=-2\sqrt{5}\)
Policz b i wstaw do równania prostych stycznych.
\(2x-y-3+2\sqrt{5}=0\\2x-y-3-2\sqrt{5}=0\\y=2x-3+2\sqrt{5}\\y=2x-3-2\sqrt{5}\)

[korki_fizyka]

Mogłeś też to sobie narysować skoro wyszedł ci już środek i promień okręgu. Jednak do tego oprócz cyrkla i linijki potrzebna jest też wiedza, co ta styczność oznacza.

[korki_fizyka]

A idąc dalej moim tropem z 22:20 układ r-ń
\(\begin{cases} y = 2x + b\\ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 \end{cases}\)

ma dokładnie jedno rozwiązanie czyli wyróżnik równania kwadratowego

\(5x^2 +4x(b - 2) +b^2 -2b +1 = 0\)

jest równy zero

\(\Delta = -4b^2 -24b + 44 = 0\)

rozwiązujemy kolejne równanie kwadratowe

\(b^2 + 6b -11 = 0\)

\(\Delta' = 80 > 0\ \ \sqrt{\Delta'} = \pm 4\sqrt{5}\)

i znajdujemy parametry b

\(b_1 = -3 - 2\sqrt{5},\ \ b_2 = -3 + 2\sqrt{5}\).

Ostatecznie równania stycznych: \(y_1 = 2x-3 - 2\sqrt{5} \ \ i \ \ y_2 = 2x-3 + 2\sqrt{5} \).

[Amtematiksonn]

Dziękuję ciekawe rozwiązanie, nie wpadł bym na to, bardziej intuicyjne jest dla mnie że odległość od środka okręgu musi być równa promieniowi Wesołych świąt

[kerajs]

Inaczej:
Znajdujesz równanie prostej prostopadłej do y=2x i przechodzącej przez środek okręgu.
Punkty jej przecięcia z okręgiem to punkty styczności prostych y=2x+b. Wstawiasz ich współrzędne dostając przesunięcia b.

Inny sposób to wykorzystanie wektorów, ale pewnie i tak masz już dość tego zadania.

ZDROWYCH! Świąt.