wektory

[Ichigo0]

Wykaż, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do jego podstaw, a jego
długośc jest średnią arytmetyczną długości podstaw trapezu.W podstawach mam odcinek DC i AB a PQ to odcinek łączący środki ramion trapezu. Nie rozumiem części rozwiązania. Dlaczego \( \vec{PQ} = \frac{ \alpha \vec{DC}+ \vec{AB} }{2}\) kiedy \(\vec{AB} = \alpha \vec{DC} \)to jak to podstawie to wychodzą dwa \( \frac{ \vec{AB+\vec{AB} } }{2} \)Czemu tak jest?

[Ichigo0]

Czemu jest tam podstawione \(\alpha \vec{DC}\)? Proszę o pomoc

[kerajs]

Przedstawiasz tylko końcowy fragment rozwiązania, więc nikt nie wie (lub nawet domyślając się nie podejmuje się zgadywać) z czego on wynika.

Równoległość wynika z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa. Skoro proste (odcinki) odcinają na ramionach kąta (jego wierzchołek to przecięcie się przedłużeń ramion trapezu) odcinki proporcjonalne to są one (te proste) równoległe.

Przecięcie się przedłużeń ramion trapezu nazwę S.
Z tw. Talesa mam:
\( \frac{|DS|}{|DC|}= \frac{|DS|+ \frac{1}{2}|AD| }{|PQ|}= \frac{|DS|+|AD|}{|AB|} \)
1)
\( \frac{|DS|}{|DC|}= \frac{|DS|+ \frac{1}{2}|AD| }{|PQ|} \So |DS||PQ|=|DS||DC|+ \frac{1}{2}|AD||DC| \So |DC|= \frac{\frac{1}{2}|AD||DC|}{|PQ|-|DC|} \)
2)
\( \frac{|DS|}{|DC|}= \frac{|DS|+|AD|}{|AB|} \So |DS||AB|=|DS||DC|+ |AD||DC| \So |DC|= \frac{|AD||DC|}{|AB|-|DC|} \)
porównując 1) i 2)
\(\frac{\frac{1}{2}|AD||DC|}{|PQ|-|DC|} =\frac{|AD||DC|}{|AB|-|DC|}\\
\frac{\frac{1}{2}}{|PQ|-|DC|} =\frac{1}{|AB|-|DC|}\\
|PQ|= \frac{|AB|+|DC|}{2} \)

[Ichigo0]

Przepraszam. Tutaj załączam pełne rozwiązanie https://zapodaj.net/e3c2698832f6f.jpg.html

[kerajs]

Ostatnia linijka jest błędna.
Powinno być:
\( \vec{PQ}= \frac{ \alpha \vec{DC}+\vec{DC} }{2}= \frac{ \alpha +1}{2} \vec{DC} = \beta \vec{DC} \)
Tu równoległość PQ do DC (i AB) wykazałeś przez proporcjonalność wektora PQ do wektora DC

Przypuszczam że intencją autora było założenie (w przedostatniej linijce)
\( \vec{DC}= \alpha \vec{AB} \)
co dałoby:
\( \vec{PQ}= \frac{ \vec{AB}+ \alpha \vec{AB} }{2}= \frac{1+ \alpha }{2} \vec{AB} = \beta \vec{AB} \)

[Ichigo0]

Dziękuję