Geometria analityczna

[Skeny]

Dane są punkty: A(2,1),B(5,2),C(3,6).

a) Wyznacz równania prostych zawierających boki tego trójkąta

b) Wyznacz długości trzech wysokości tego trójkąta

c) Oblicz obwód trójkąta ABC

Narysuj trójkąt w układzie współrzędnych zaznaczając proste zawierające boki tego trójkąta i wszystkie jego wysokości.

Pomoże mi ktoś lub chociaż naprowadzi, jak to zrobić bardzo proszę.

[korki_fizyka]

a) Wystarczy podstawić do r-nia prostej przechodzącej przez 2 punkty: \((y-y_1)(x_2-x_1)-(y_2-y_1)(x-x_1) = 0\)
b) r-nia wysokości znajdziesz wykorzystując własność prostych prostopadłych: \(a_1a_2 = -1 \)
c) obwód czyli suma długości boków , wzór na długość odcinka chyba nie muszę ci przepisywać ?

[Galen]

Możesz też zastosować wzór \(y=ax+b\) i z układów równań obliczać a oraz b.
Otrzymasz równania prostych:
\(AB\\ \begin{cases} 1=2a+b\\2=5a+b\end{cases} \\a=\frac{1}{3}\;\;\;\;i\;\;\;\;b=\frac{1}{3}\\prosta\;AB\;:y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\\czyli\\x-3y+1=0\)
Analogicznie proste BC i AC
\(BC\;\;\;\; \begin{cases} 5a+b=2\\3a+b=6\end{cases}\\a=-2\;\;\;\;i\;\;\;\;b=12\\y=-2x+12\\czyli\\2x+y-12=0\\AC\;\;\;\;\; \begin{cases}2a+b=1\\3a+b=6 \end{cases}\\a=5\;\;\;\;i\;\;\;b=-9\\y=5x-9\;\;\;czyli\;\;\;\;5x-y-9=0\)
b)
Długości wysokości trójkąta są równe odległości wierzchołka do prostej zawierającej przeciwległy bok (po to masz równania prostych w postaci nx+ky+l=0)
\(h_C=\frac{|3-18+1|}{\sqrt{1+9}}=1,4\sqrt{10}\\h_B=\frac{|25-2-9|}{\sqrt{26}}=\frac{14}{\sqrt{26}}=\frac{7\sqrt{26}}{13}\\h_A=\frac{|4+1-12|}{\sqrt{5}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}=1,4\sqrt{5}\)