Oblicz pole trójkąta

[LuckyLuck]

Dane są punkty P=(1,-1), Q=(-2,3), R=(6,-13) Dwusieczna kąta QPR przecina odcinek QR w punkcie A. Oblicz pole trójkąta PAR

[eresh]

\(|PQ|=\sqrt{(1+2)^2+(3+1)^2}=5\\
|PR|=\sqrt{(1-6)^2+(-1+13)^2}=13\\
|QR|=\sqrt{(6+2)^2+(-13-3)^2}=8\sqrt{5}\\
|AR|=x\\
|QA|=8\sqrt{5}-x\\
\frac{|PQ|}{|QA|}=\frac{|PR|}{|AR|}\\
\frac{5}{8\sqrt{5}-x}=\frac{13}{x}\\
5x=104\sqrt{5}-13x\\
x=\frac{52\sqrt{5}}{9}\)

prosta QR:
\(y=ax+b\\
a=\frac{-13-3}{6+2}=-2\\
y=-2(x+2)+3\\
y=-2x-1\\
2x-y-1=0\)

wysokość trójkąta to odległość punktu P od prostej QR
\(h=\frac{|2+1-1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\\
P=\frac{1}{2}xh\\
P=\frac{1}{2}\cdot\frac{52\sqrt{5}}{9}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\\
P=\frac{52}{9}\)