Zadanie optymalizacyjne.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MiedzianyDawid
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
Podziękowania: 90 razy
Płeć:

Zadanie optymalizacyjne.

Post autor: MiedzianyDawid » 07 maja 2019, 13:17

Znajdź współrzędne takiego punktu A leżącego na paraboli o równaniu \(y=-x^2+4x\), aby styczna do tej paraboli poprowadzona z punktu A wraz z prostymi o równaniach x=0, x=2 i y=0 wyznaczały trapez o możliwie najmniejszym polu.

Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 58
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: Scino » 07 maja 2019, 13:56

Współrzędne punktu \(A\) to \((a, - a^2+4a)\),
pochodna tej funkcji to \(-2x+4\), stąd styczna przez punkt \(A\) ma równanie \((-2a+4)(x-a)-a^2+4=(-2a+4)x+a^2\)
Obliczmy teraz długości naszych dwóch podstaw, dla \(x=0 \So a^2 \wedge x=2 \So a^2-4a+8\), zatem najmniejsze pole będzie gdy suma tych dwóch podstaw będzie możliwie najmniejsza, funkcja \(2a^2-4a+8\) ma ekstrumum dla \(a=1\) i jest to minimum lokalne w naszym przedziale (wydaje mi się, że \(a\) nie ma żadnych ograniczeń i należy do zbioru liczb rzeczywistych), więc współrzędne tego punktu to \((1,3)\)