Bardzo proszę o pomoc.
Styczna do okręgu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Styczna do okręgu
Punkt A=(5,-2) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC. Okrąg o środku w punkcie C i styczny do przeciwprostokątnej trójkąta ABC określony jest równaniem x^2+y^2-2x-3=0. Wyznacz współrzędne punktu B wiedząc, że obie jego współrzędne są dodatnie.
Bardzo proszę o pomoc.
Bardzo proszę o pomoc.
-
panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
\(x^2+y^2-2x-3=0 \iff (x-1)^2+y^2=4\), więc C=(1,0), r=2
Równanie prostych przechodzących przez A=(5,-2) ma postać: \(y=ax-5a-2 \iff -ax+y+5a+2=0\).
Z tych prostych wybieramy tę (te), których odległość od środka C jest równa r:
\(\frac{|-a+5a+2|}{ \sqrt{a^2+1} }=2 \iff |2a+1|= \sqrt{a^2+1} \So (2a+1)^2=a^2+1 \iff a(3a+4)=0\)
Są więc dwie styczne (patrz rysunek poniżej):
\(a=0,\,\, b=-2:\quad y=-2\\
a=- \frac{4}{3},\,\, b= \frac{14}{3}: \quad y=- \frac{4}{3}x+ \frac{14}{3}\)
Żeby znaleźć punkt B, trzeba policzyć współrzędne punktów przecięcia prostej prostopadłej do prostej AC z tymi prostymi.
Są oczywiście 2 takie punkty - wybieramy \(B_1=(2,2)\) z wiadomych powodów.
Mam nadzieję, że tę część z prostopadłą zrobisz samodzielnie.
Równanie prostych przechodzących przez A=(5,-2) ma postać: \(y=ax-5a-2 \iff -ax+y+5a+2=0\).
Z tych prostych wybieramy tę (te), których odległość od środka C jest równa r:
\(\frac{|-a+5a+2|}{ \sqrt{a^2+1} }=2 \iff |2a+1|= \sqrt{a^2+1} \So (2a+1)^2=a^2+1 \iff a(3a+4)=0\)
Są więc dwie styczne (patrz rysunek poniżej):
\(a=0,\,\, b=-2:\quad y=-2\\
a=- \frac{4}{3},\,\, b= \frac{14}{3}: \quad y=- \frac{4}{3}x+ \frac{14}{3}\)
- Ilustracja do zadania
- rys.png (32.38 KiB) Przejrzano 1484 razy
Są oczywiście 2 takie punkty - wybieramy \(B_1=(2,2)\) z wiadomych powodów.
Mam nadzieję, że tę część z prostopadłą zrobisz samodzielnie.
