dowód

[CarotaMiszczu]

Dany jest odcinek o końcach A = (a, 0) i B = (b, 0), gdzie \(a\neq b\). Uzasadnij, że zbiór punktów
płaszczyzny P = (x, y) takich, że |AP| : |BP| = 1 : 3 tworzy okrąg.

[Scino]

\(A=(a,0) \ \wedge \ B=(b,0)\)
Przyjmijmy, że nasz punkt \(P\) ma współrzędne \((x_p,y_p)\)
Odległość punktu \(P\) od \(A\):
\(\sqrt{(a-x_p)^2+y_p^2}\)
Odległość punktu \(P\) od \(B\):
\(\sqrt{(b-x_p)^2+y_p^2}\)

I teraz nasz warunek:
\(3\sqrt{(a-x_p)^2+y_p^2}=\sqrt{(b-x_p)^2+y_p^2}\ /()^2\)

\(9(a-x_p)^2+9y_p^2=(b-x_p)^2+y_p^2\)

\(9a^2-18ax_p+9x_p^2+9y_p^2=b^2-2bx_p+x_p^2+y_p^2\)

\(8x_p^2+8y_p^2+2(b-9a)x_p=b^2-9a^2\ / \cdot \frac{1}{8}\)

\(x_p^2+y_p^2+ 2( \frac{1}{8}b- \frac{9}{8}a)x_p= \frac{1}{8}b^2- \frac{9}{8}a^2\)

Do pełnego równania okręgu brakuje już nam tylko \(( \frac{1}{8}b- \frac{9}{8}a)^2\), więc dodajmy po obu stronach

\(x_p^2+2( \frac{1}{8}b- \frac{9}{8}a)x_p+( \frac{1}{8}b- \frac{9}{8}a)^2+y_p^2= \frac{1}{8}b^2- \frac{9}{8}a^2+( \frac{1}{8}b- \frac{9}{8}a)^2\)

\((x_p+ \frac{1}{8}b- \frac{9}{8}a)^2+y_p^2= \frac{9}{64}b^2- \frac{18}{64}ab +\frac{9}{64}a^2\)

\((x_p+ \frac{1}{8}b- \frac{9}{8}a)^2+y_p^2=( \frac{3}{8}a- \frac{3}{8}b)^2\)

Zatem zbiór naszych punktów to okrąg o środku w punkcie \(O = \left( \frac{9}{8}a-\frac{1}{8}b,0\right)\) i promieniu \(R = \frac{3}{8}a- \frac{3}{8}b\)

[CarotaMiszczu]

Dzięki!

[Scino]

nie ma problemu