Wykaż, że suma kwadratów długości przekątnych czworokąta jes

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
lolipop692
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 98
Rejestracja: 31 paź 2018, 00:03
Podziękowania: 37 razy
Płeć:

Wykaż, że suma kwadratów długości przekątnych czworokąta jes

Post autor: lolipop692 » 05 kwie 2019, 20:10

Wykaż, że suma kwadratów długości przekątnych czworokąta jest równa
podwojonej sumie kwadratów długości odcinków , których końcami są środki
przeciwległych boków czworokąta.

lolipop692
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 98
Rejestracja: 31 paź 2018, 00:03
Podziękowania: 37 razy
Płeć:

Post autor: lolipop692 » 06 kwie 2019, 00:08

Proszę o pomoc

Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 58
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Post autor: Scino » 06 kwie 2019, 14:48

Wierzchołki czworokąta:
\(A=(a_1,a_2), B=(b_1,b_2), C=(c_1,c_2), D=(d_1,d_2)\)
Suma kwadratów długości przekątnych:
\(S=|AC|^2+|BC|^2=(a_1-c_1)^2+(a_2-c_2)^2+(b_1-d_1)^2+(b_2-d_2)^2\)
Suma kwadratów odcinków łączących środki przeciwległych boków:

\(T = (\frac{a_1+b_1}{2}- \frac{c_1+d_1}{2})^2+(\frac{a_2+b_2}{2}- \frac{c_2+d_2}{2})^2+(\frac{a_1+d_1}{2}- \frac{b_1+c_1}{2})^2+(\frac{a_2+d_2}{2}- \frac{b_2+c_2}{2})^2\)

\(\frac{1}{4} [ 2(a_1 ^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2+c_1^2+c_2^2+d_1^2+d_2^2)-4a_1c_1-4a_2c_2-4b_1d_1-4b_2d_2]\)

\(\frac{1}{4} \cdot 2[(a_1-c_1)^2+(a_2-c_c)^2+(b_1-d_1)^2+(b_2-d_2)^2]\)

\(\frac{1}{2}[(a_1-c_1)^2+(a_2-c_2)^2+(b_1-d_1)^2+(b_2-d_2)^2]\)

\(S=2T\)