Odległość środków okręgów.

[MiedzianyDawid]

Przez dowolny punkt P wykresu funkcji \(\frac{1}{x}\) gdzie x>0, można poprowadzić dwa okręgi, z których każdy jest styczny do obu osi układu współrzędnych. Wyznacz odległość środków tych okręgów (dla dowolnego punktu P).

[eresh]

\(P(x,\frac{1}{x})
(x-r)^2+(y-r)^2=r^2\\
(x-r)^2+(\frac{1}{x}-r)^2=r^2\\
x^2-2rx+r^2+\frac{1}{x^2}-\frac{2r}{x}+r^2=r^2\\
r^2-2r(x+\frac{1}{x})+x^2+\frac{1}{x^2}=0\\
r^2-2r(x+\frac{1}{x})+(x+\frac{1}{x})^2-2=0\\
(r-(x+\frac{1}{x})^2=2\\
r-(x+\frac{1}{x})=\sqrt{2}\;\;\; \vee \;\;\;r-(x+\frac{1}{x})=-\sqrt{2}\\
r=\sqrt{2}+x+\frac{1}{x}\;\;\;\vee\;\;\;r=x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}\\
S_1=(\sqrt{2}+x+\frac{1}{x},\sqrt{2}+x+\frac{1}{x})\;\;\vee\;\;S_2=(x+\frac{1}{x}-\sqrt{2},x+\frac{1}{x}-\sqrt{2})\\
|S_1S_2|=\sqrt{2(x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}-\sqrt{2}-x-\frac{1}{x})^2}\\
|S_1S_2|=\sqrt{2(2\sqrt{2})^2}\\
|S_1S_2|=4\)

[MiedzianyDawid]

Dziękuję bardzo!!