Wyprowadzenie wzoru na styczną do okręgu w danym punkcie

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
tmath
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 paź 2018, 16:25
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Wyprowadzenie wzoru na styczną do okręgu w danym punkcie

Post autor: tmath » 20 mar 2019, 22:40

Witam, czy może ktoś wyjaśnić skąd się wziął ten wzór:
(x - a)(x_A - a) + (y - b)(y_A - b) = r^2

gdzie a, b - współrzędne okręgu
x_A, y_A - współrzędne punktu A należącego do okręgu
r - promień okręgu

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Post autor: Galen » 20 mar 2019, 22:55

Równanie okręgu o środku S= (a;b) i promieniu r
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
Punkt styczności \(A=(x_A;y_A)\)
Prosta SA jest prostopadła do stycznej.
Odległość punktu S od stycznej k równa jest r.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

tmath
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 paź 2018, 16:25
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Post autor: tmath » 20 mar 2019, 23:11

To wydaje się logiczne, ale wciąż nie wiem skąd wziął się ten wzór :x
Próbowałem to sobie narysować ale jedyne co on mi podpowiada to układ równań.
Ten powyższy wzór nie wygląda mi już na kwadrat odległości.

Galen
Guru
Guru
Posty: 18208
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 9042 razy

Post autor: Galen » 21 mar 2019, 13:16

Styczna \(k\) do okręgu o środku S=(0;0) i promieniu r przechodząca przez punkt \(P=(x_o;y_o)\) leżący na tym okręgu ma równanie :
\(x_ox+y_oy=r^2\)
Wektor \([x_o;y_o] \perp k\)

Jeśli środek okręgu jest w punkcie \(S=(a;b)\),to można przesunąć układ współrzędny o wektor \([-a;-b]\),żeby mieć środek okręgu w początku układu współrzędnych.
Wtedy współrzędne punktów P i S zmienią się \(P=(x_o-a;y_o-b)\;\;wektor \;prostopadły\;do\;prostej\;k\;ma\;współrzędne\; [x_o-a;x_o-b]\)
Podstawiając do równania otrzymujemy równanie stycznej:
\((x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(x-b)=r^2\)

Znacznie prościej jest napisać równanie prostej SP(S i P są dane),a następnie prostej prostopadłej przez punkt P i mamy styczną do okręgu .
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

tmath
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 19 paź 2018, 16:25
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: Wyprowadzenie wzoru na styczną do okręgu w danym punkcie

Post autor: tmath » 21 mar 2019, 21:26

Dzięki @Galen, rozjaśniłeś.