Okrąg styczny do osi OX.

[MiedzianyDawid]

Okrąg przedstawiony na rysunku jest styczny do osi OX w punkcie (2,0), a prosta k przechodzi przez punkt A=(-6,0) i jest styczna do okręgu w punkcie B.
a) Jaką długość ma odcinek AB?
b) Znajdź równanie stycznej k wiedząc dodatkowo, że punkt A znajduje się w odległości \(6 \sqrt{2}\) od środka okręgu.

[kerajs]

a) 8 (gdyż odległość A od obu punktów styczności jest taka sama)
b)
\(8^2+R^2=(6 \sqrt{2} )^2 \\
R=2 \sqrt{2}\)
dalej pewnie potrafisz

inaczej
\(\tg \alpha = \frac{2 \sqrt{2} }{6 \sqrt{2} }= \frac{1}{3}\\
\tg 2 \alpha = \frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha} =... \\
k: \ y-0=\tg 2 \alpha (x+6)\)

Edit:
Faktycznie, zamiast

\(\tg \alpha = \frac{2 \sqrt{2} }{6 \sqrt{2} }= \frac{1}{3}\)

powinno być:
\(\tg \alpha = \frac{2 \sqrt{2} }{8 }= \frac{ \sqrt{2} }{4}\)
Wielkie sorry.

[Galen]

Odległość punktów styczności od punktu A jest taka sama na obu stycznych.
\(A=(-6;0)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;P=(2;0)\\|AP|=8\;\;\;\;\;i\;\;\;|AB|=8\\Środek\;okręgu\;\;S=(a;b)\\|SA|=6 \sqrt{2}\\
Trójkąt \;APS\;jest\;prostokątny\\|AP|^2+|PS|^2=|AS|^2\\8^2+r^2=(6 \sqrt{2})^2\\r^2=72-64\\r= \sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)
\(S=(2;2 \sqrt{2})\)
Prosta AS jest dwusieczną kąta PAB
Współczynnik kierunkowy dwusiecznej =\(a_1= \frac{ \Delta y}{ \Delta x}= \frac{2 \sqrt{2} }{8}= \frac{ \sqrt{2} }{4}\\czyli\;\;\;tg( \frac{1}{2}\alpha = \frac{ \sqrt{2} }{4}\)
Prosta AB ma kąt z osią OX dwa razy większy.
Współczynnik kierunkowy prostej AB=\(a=tg(2 \cdot \frac{\alpha}{2})=tg\alpha= \frac{2 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{4} }{1-( \frac{ \sqrt{2} }{4})^2 }=\\= \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{1- \frac{1}{8} }= \frac{4 \sqrt{2} }{7}\)
Prosta AB ma równanie:
\(y= \frac{4 \sqrt{2} }{7}\cdot x+b\\Podstaw \;\;A=(-6;0)\\0=- \frac{24 \sqrt{2} }{7}+b\;\;\; \So \;\;\;\;b= \frac{24 \sqrt{2} }{7}\\Ostatecznie\\AB\;\;:\;\;y= \frac{4 \sqrt{2} }{7}x+ \frac{24 \sqrt{2} }{7}\)

[Galen]

a) 8 (gdyż odległość A od obu punktów styczności jest taka sama)
b)
\(8^2+R^2=(6 \sqrt{2} )^2 \\
R=2 \sqrt{2}\)
dalej pewnie potrafisz

inaczej
\(\tg \alpha = \frac{2 \sqrt{2} }{6 \sqrt{2} }= \frac{1}{3}\\
\tg 2 \alpha = \frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha} =... \\
k: \ y-0=\tg 2 \alpha (x+6)\)

Tu jest sinus alfa.
Z tego można policzyć cosinus,a następnie tangens....

[MiedzianyDawid]

Dziękuję bardzo!