Przestrzenie wektorowe - znajdowaie baz i wymiarów

[szk]

Wskaż bazy i określ wymiary podprzestrzeni wektorowych:

a) \(V = \{ (x,y,z) : x - 2y = y - 2z = 0 \}\)
Rozpisałem to sobie następująco:
\(\begin{cases} x - 2y = 0 \\ y - 2z = 0 \\ x- 2y = y - 2z \end{cases} \\
\begin{cases} x = 2y \\ z = 2y \\ 2y- 2y = y - y \So 0 = 0 \end{cases}\)
Zatem doszedłem do wniosku, że jedna ze zmiennych będzie parametrem, czyli rozwiązanie to:
\((2y,y,y/2) = y (2, 1, 1/2) \\ v = (2,1,1/2)\)
Ale mam dziwne przeczucie graniczące z pewnością, że ten to myślenia posiada jakieś błędy.

b) \(V = \{(2x + y, 3x + y - 2z, x + y + 2z) x,y,z \subset R \} \\
V = lin \{(2,3,1), (1,1,1), (0,-2,2) \}\)
I wszystko fajnie gdyby nie to, że:
\(\begin{vmatrix}2&3&1\\1&1&1\\0&-2&2\end{vmatrix} = 0\)
Czyli wynikałoby z tego, że te wektory są liniowo zależne, ale nie potrafię znaleźć współczynnika, przez które dwa wektory przemnożone dałyby ten trzeci wektor.

[panb]

W a) rozumujesz poprawnie, . Baza składa się z jednego wektora.
b) Nie musisz zgadywać. Skoro wyznacznik jest równy zero, to muszą istnieć \(\alpha\) i \(\beta\) takie, że
\(\alpha(1,1,1)+\beta(0,-2,2)=(2,3,1)\). Policzyłem i \(\alpha=2, \,\, \beta=-0,5\).
Biorąc inną parę wektorów być może można otrzymać ładniejsze współczynniki.
Myślę, że dla ćwiczenia powinieneś spróbować.

[szk]

Dzięki wielkie. Moja konsternacja w pierwszym wynikła z faktu, że w jednym z dalszych podpunktów jest bardzo podobna treść i otrzymuję dokładnie taki sam wynik (jeden wektor). Stwierdziłem zatem, że metoda dająca taki sam wynik w dwóch różnych przestrzeniach raczej będzie błędna.