okrąg

[enta]

okrąg przechodzi przez punkty A (1,1), B (4, k), C (6, k) i D (11,11), dla pewnej stałej wartości k.
a) znaleźć równanie AD.
b) wyjaśnić, dlaczego współrzędna x środka okręgu musi wynosić 5.
c) znaleźć współrzędne środka okręgu.
d) Znajdź równanie okręgu.
e) znajdź możliwe wartości k.

[radagast]

okrąg przechodzi przez punkty A (1,1), B (4, k), C (6, k) i D (11,11), dla pewnej stałej wartości k.
a) znaleźć równanie AD.

prosta AD ma równanie \(x=y\)

b) wyjaśnić, dlaczego współrzędna x środka okręgu musi wynosić 5.

środek musi leżeć na symetralnej cięciwy BC, która ma równanie \(x=5\)

c) znaleźć współrzędne środka okręgu.

symetralna cięciwy AD to prosta \(y=-x+12\)
\(\begin{cases}y=-x+12\\x=5 \end{cases}\)
no to środek okręgu to \(\left(5,7 \right)\)

d) Znajdź równanie okręgu.

\(\left( x-5\right) ^2+ \left( y-7\right) ^2=r^2\)
przy czym \(r\) to odległość A(1,1) od środka okręgu czyli \(r= \sqrt{(5-1)^2+(7-1)^2} = \sqrt{52}\)
czyli \(\left( x-5\right) ^2+ \left( y-7\right) ^2=52\)

e) znajdź możliwe wartości k.

prosta x=4 przecina okrąg \(\left( x-5\right) ^2+ \left( y-7\right) ^2=52\) w punktach \((4,- \sqrt{51} +7)\) oraz \((4, \sqrt{51} +7)\), zatem możliwe \(k\) to \(\pm \sqrt{51} +7\) ( na żadnym innym czworokącie nie da się opisać okręgu).

[radagast]

Tak to wygląda:

ScreenHunter_479.jpg (28.44 KiB) Przejrzano 1504 razy

[enta]

skad wiemy ze symetralna AD to y=-x+12?

[enta]

a czy k nie powinno być \(7-2 \sqrt{13}\) ?

[radagast]

skad wiemy ze symetralna AD to y=-x+12?

bo jest prostopadła do \(x=y\) i przechodzi przez \(\left(6,6 \right)\) (środek odcinka \(\kre{AD}\))

[radagast]

a czy k nie powinno być \(7-2 \sqrt{13}\) ?

Możliwe, ustaliłyśmy już kiedyś , że liczysz lepiej ode mnie